湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系优质教案及反思

§2．1.2　基本不等式

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．

[问题]　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？

三、合作探究

知识点　基本不等式

1．算术平均数、几何平均数

对于正数a，b，把称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．

2．定理

对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．

推论：对任意a，b≥0，必有，当且仅当a＝b时等号成立．

上述定理和推论中的不等式称为基本不等式．

1．不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

2．基本不等式的常见变形

(1)a＋b≥2；

(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)．　　

四、精讲点拨

[例1]　判断下列两个推导过程是否正确：

(1)∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；

(2)∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2 ＝－2.

[例2]　(链接教科书第38页例5、例6)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.

1．(变设问)在本例条件下，求证：＋＋≥9.

2．(变条件，变设问)本例条件变为“a＋b＝1，a＞0，b＞0”，求证≥9.

[例3]　(链接教科书第38页例7)(1)已知x>2，则x＋的最小值为________；

(2)若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．

五、达标检测

1．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R

C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab＞0

2．若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A．25　  B．      C.    D．

3．已知x<0，则x＋－2有(　　)

A．最大值为0     B．最小值为0   C．最大值为－4  D．最小值为－4

4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.

六、课堂小结

   1.基本不等式

   2.基本不等式的常见变形

课后作业

教后反思