必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数精品教案

4．1.3　幂函数

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.

[问题]　(1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？

(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？

三、合作探究

知识点一　幂函数的概念

1．定义：当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数．

2．幂函数分类

(1)整数次幂函数

①当α为1，2，3…正整数时，此幂函数是正整数次幂函数，一般写成y＝xn(x∈R，n∈Z＋)；

②当α为－1，－2，－3，…负整数时，此幂函数是负整数次幂函数．

一般写成y＝x－n(n∈Z＋且x≠0)，正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数．

(2)当α为，，－，…分数时，此幂函数是分数次幂函数．

如y＝＝x，y＝x等．

3．幂运算的基本不等式的推广：对任意的正数r和两正数a>b，有＝>1，即ar>br.

对任意的负数r和两正数a>b，有＝<1，即ar<br.

知识点二　幂函数的图象与性质

1．一般地，对于实数次幂函数y＝xα(α≠0)：

(1)当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；

(2)当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近．

2．(1)五个常见幂函数的图象

(2)五个常见幂函数的性质

四、精讲点拨

[例1]　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．

[例2]　(链接教科书第103页习题8题)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：

(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

[例3]　(链接教科书第101页例9)探讨幂函数f(x)＝x的单调性．

[母题探究]

(变条件)本例若增加条件“(a＋1) <(3－2a) ”，求实数a的取值范围．

[例4]　(链接教科书第101页例8)比较下列各组数的大小：

(1)与；

(2)与；

(3)与.

五、达标检测

1．下列函数中是幂函数的是(　　)

A．y＝x4＋x2　　　　B．y＝10x    C．y＝    D．y＝x＋1

2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)

A．y＝x－2    B．y＝x－1      C．y＝x2   D．y＝x

3．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．

4．比较下列各组数的大小：

(1)，；(2)，.

六、课堂小结

    1.幂函数的概念；

    2。幂函数的性质；

    3.;幂函数图象及其应用。

   课后作业

教后反思