高中数学第6章 统计学初步6.4 用样本估计总体一等奖教案

6．4.2　用样本估计总体的离散程度

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

2019年国际射击联合会世界杯总决赛在福建莆田落下帷幕．中国射击队获得11金15银18铜共44枚奖牌，在奖牌榜上高居首位．这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：

甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4

乙：9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7

[问题]　(1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？

(2)如果这是一次选拔性考核，你认为派哪名运动员参赛最好？

三、合作探究

知识点一　极差

将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称为全距，用R表示．

极差的统计意义是什么？

知识点二　方差

1．总体方差(方差)：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差．

2．样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用x表这n个数据的均值，则称s2＝为这n个数据的样本方差．

3．分层抽样中的全部样本方差

如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为1，2，样本方差分别为s，s，则全部样本方差为s2＝{n1＋n2}．

拓展：如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjnj，第j层的样本容量为nj，样本均值为xj，样本方差为s，j＝1，2，…，k.记j＝n，则全部样本方差为s2＝j.

　方差的统计意义是什么？

知识点三　标准差

标准差是方差的算术平方根．总体方差σ2，总体标准差σ＝，样本方差s2，样本标准差s＝.

显然s＝ .

对方差、标准差的再理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小；

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；

(3)标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差；

(4)标准差的单位与样本数据一致．

四、精讲点拨

题型一  标准差、方差的计算

[例1]　(链接教科书第238页例5)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高(单位：cm)如下：

甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42

乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40

问：(1)哪种玉米苗长得高？

(2)哪种玉米苗长得齐？

题型二  分层抽样中的方差计算

[例2]　(链接教科书第238页例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？

题型三  方差(标准差)的实际应用

[例3]　某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低)．去年测评的数据如下：

甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；

乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.

(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；

(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；

(3)根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？

五、达标检测

1．(多选)下列对一组数据的分析，说法正确的是(　　)

A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定

B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定

C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定

D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定

2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　)

A．9.4，0.484　　　　　 B．9.4，0.016

C．9.5，0.04  D．9.5，0.016

3．在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，则高一年级全体学生身高的方差为________．

六、课堂小结

1. 标准差、方差的计算；

2.分层抽样中的方差计算；

3.方差(标准差)的实际应用.

课后作业

教后反思