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初中数学浙教版八年级上册1.1 认识三角形精品教学设计及反思
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这是一份初中数学浙教版八年级上册1.1 认识三角形精品教学设计及反思，共99页。教案主要包含了三角形内角和定理应用，三角形内角和与翻折题型，三角形三边关系直接运用，化简与三角形三边关系，三角形“三线”的辨析，三角形“三线”的性质应用，三角形面积等内容，欢迎下载使用。
1.1 认识三角形
知识点梳理
1、三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2、三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
3、三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4、三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
题型梳理
题型一 三角形内角和定理应用
1．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
2．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
4．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
6．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
7．适合条件∠A=12∠B=13∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
9．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）
A．62° B．152° C．208° D．236°
10．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A=12∠B=13∠C
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
12．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝ 度．
13．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为 ．
14．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
15．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝ ．
16．如图，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C＝75°，则∠AOE＝ 度．
17．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD＝BD，∠A＝23°，∠BCE＝44°，求∠ACB的度数．
题型二 三角形内角和与翻折题型
1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
2．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
3．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27° B．59° C．69° D．79°
4．如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为 ．
5．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 ．
6．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ ．
7．如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝102°，则∠A的度数是 ．
8．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为 ．
9．如图，将∠ACB沿EF折叠，点C落在C'处．若∠BFE＝65°．则∠BFC'的度数为 ．
题型三 三角形三边关系直接运用
1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4
6．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，3 C．3，4，8 D．4，5，6
8．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
9．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
10．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
12．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．
13．一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 ．
14．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
15．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ．
16．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
17．已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是 ．
18．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是 ．
19．已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为 cm．
20．已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有 个．
题型四 化简与三角形三边关系
1．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
2．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 ．
3．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ ．
4．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
5．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝ ．
6．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．
7．已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．
8．已知：a、b、c分别为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|．
9．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．
题型五 三角形“三线”的辨析
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE=12∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．C．D．
5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
7．在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．AF B．BH C．CD D．EC
9．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六 三角形“三线”的性质应用
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
2．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝ cm．
3．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 ．
4．已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 ．
5．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 ．
7．如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ ，∠DAF＝ ．
8．如图，在△ABC中，AB＝2018，AC＝2015，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
9．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ．
10．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
11．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝ ．
12．如图，△ABC的中线AD与高CE交于点F，AE＝EF，FD＝2，S△ACF＝24，则AB的长为 ．
13．如图，在△ABC中，AD为中线，E在AC边上，AE＝AB，AD＝CE，若∠BAD＝60°，AB＝3，则线段BC的长度为 ．
14．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
15．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
16．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？
17．在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
18．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高．
（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，则∠DAE＝ ；
（2）若已知∠B＝25°，∠C＝85°，则∠DAE＝ ；
（3）若已知∠B＝α，∠C＝β，且，求∠DAE的度数（结果用含α、β的代数式表示）．
题型七 三角形面积（同底等高方法）
1．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2
2．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．143 C．3 D．72
3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
4．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A．12 B．1 C．32 D．2
5．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（ ）
A．9 B．6 C．4.5 D．4
6．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
7．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
9．如图，△PBC的面积为15cm2，PB为∠ABC的角平分线，作AP垂直BP于P，则△ABC的面积为（ ）
A．25cm2 B．30cm2 C．32.5cm2 D．35cm2
10．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是12，则△BEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 ．
13．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 ．
14．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为 ．
15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 ．
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF＝ cm2．
17．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
18．如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，△ABC的面积为8，则△CDE的面积为 ．
19．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ．
20．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 ．
21．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是 ．
22．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为36cm2，则△BEF的面积＝ ．
参考答案与试题解析
题型一 三角形内角和定理应用
1．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
2．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，
故选：A．
3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
【分析】法一：设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
法二：易得∠1+∠2+∠3＝540°﹣120°﹣180°﹣90°＝150°，由此解决问题即可．
【解答】解：法一：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，
∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠3＝50°，
∴∠1+∠2＝150°﹣50°＝100°．
法二：图中∠1+∠2+∠3+小三角形的三个内角再加两个等边三角形的两个内角，再加正方形的一个内角，总和为180°*3＝540°，减去三角形的三个内角之和180°，再减去两个三角形的内角60°*2＝120°，再减去正方形的内角90°，则易得∠1+∠2+∠3＝540°﹣120°﹣180°﹣90°＝150°，而∠3＝50°，所以∠1+∠2＝100°．
故选：B．
4．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】首先根据三角板可知：∠CBA＝60°，∠BCD＝45°，再根据三角形内角和为180°，可以求出∠α的度数．
【解答】解：∵∠CBA＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠α＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
6．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角为4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
7．适合条件∠A=12∠B=13∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A=12∠B=13∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
8．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
9．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）
A．62° B．152° C．208° D．236°
【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，
故选：C．
10．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A=12∠B=13∠C
【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：A、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝2∠B＝3∠C，则∠A=108011°，所以A选项错误；
B、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；
C、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝∠B＝30°，则∠C＝150°，所以B选项错误；
D、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A=12∠B=13∠C，则∠C＝90°，所以D选项正确．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ 70° ．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠2）+12（∠B+∠1）=12（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（12∠DAC+12∠ACF）＝70°．
故答案为：70°．
12．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝ 74 度．
【分析】利用三角形的内角和角平分线的定义解决问题．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝68°，
∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
∴∠BCE＝34°，∠BCD＝90°﹣72°＝18°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF＝90°﹣（34°﹣18°）＝74°．
故答案为：74．
13．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为 40° ．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+3x+4x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠A的度数为：40°．
故答案为：40°．
14．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 60或10 度．
【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60或10；
15．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝ 60° ．
【分析】设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，再根据三角形的内角和是180°列方程求解．
【解答】解：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°．
则有2x+3x+4x＝180，
x＝20．
则∠B＝3x°＝60°；
故答案为：60°．
16．如图，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C＝75°，则∠AOE＝ 75 度．
【分析】利用等角的余角相等证明∠AOE＝∠C即可解决问题．
【解答】解：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEO＝∠ADC＝90°，
∴∠EAO+∠AOE＝90°，∠EAO+∠C＝90°，
∴∠AOE＝∠C＝75°，
故答案为75．
17．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD＝BD，∠A＝23°，∠BCE＝44°，求∠ACB的度数．
【分析】根据等角对等边得出∠ABD＝∠A，再利用平行线的性质得出∠DBC＝∠BCE，进而利用三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵AD＝BD，∠A＝23°，
∴∠ABD＝∠A＝23°，
∵BG∥EF，∠BCE＝44°，
∴∠DBC＝∠BCE＝44°，
∴∠ABC＝44°+23°＝67°，
∴∠ACB＝180°﹣67°﹣23°＝90°．
题型二 三角形内角和与翻折题型
1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根据四边形的内角和为360°及翻折的性质，就可求出2∠A＝∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【解答】解：2∠A＝∠1+∠2，
理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，
则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，
∴可得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
2．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：C．
3．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27° B．59° C．69° D．79°
【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．
【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠ABC＝3∠3＝81°，
∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．
4．如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为 40° ．
【分析】由翻折的性质可知：∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠A′ED=12（180°﹣70°）＝55°，求出∠ADE即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠A′ED=12（180°﹣70°）＝55°，
∵∠A＝55°，
∴∠ADE＝∠EDA′＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∴∠A′DB＝180°﹣140°＝40°，
故答案为40°．
5．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 65° ．
【分析】根据折叠的性质得到∠3＝∠5，∠4＝∠6，利用平角的定义有∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，则2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，而∠1+∠2＝130°，可计算出∠3+∠4＝115°，然后根据三角形内角和定理即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵△ABC的一角折叠，
∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，
而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，
∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，
∵∠1+∠2＝130°，
∴∠3+∠4＝115°，
∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．
故答案为：65°．
6．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ 35° ．
【分析】根据折叠的性质得到∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED＝145°，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝145°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
7．如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝102°，则∠A的度数是 51° ．
【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A＝∠D，∠AED+∠AFD＝258°，即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，延长B'E，C'F，交于点D，
由折叠可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝102°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣102°＝258°，
∴四边形AEDF中，∠A=12（360°﹣258°）＝51°，
故答案为：51°．
8．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为 30° ．
【分析】利用平行线的性质求出∠ADE＝75°，再由法则不变性推出∠ADE＝∠EDF＝75°即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝75°，
又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为30°．
9．如图，将∠ACB沿EF折叠，点C落在C'处．若∠BFE＝65°．则∠BFC'的度数为 50° ．
【分析】设∠BFC′的度数为α，则∠EFC＝∠EFC'＝65°+α，依据∠EFB+∠EFC＝180°，即可得到α的大小．
【解答】解：设∠BFC′的度数为α，则∠EFC'＝65°+α，
由折叠可得，∠EFC＝∠EFC'＝65°+α，
又∵∠BFC＝180°，
∴∠EFB+∠EFC＝180°，
∴65°+65°+α＝180°，
∴α＝50°，
∴∠BFC′的度数为50°，
故答案为：50°
题型三 三角形三边关系直接运用
1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
【解答】解：A、因为2+3＝5，所以不能构成三角形，故A错误；
B、因为2+4＜7，所以不能构成三角形，故B错误；
C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
【解答】解：A、∵5+4＝9，9＝9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8＝16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5＝10，10＝10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7＝13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．
【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故选：C．
4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：D．
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4
【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A．∵3+2＝5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；
B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；
故选：D．
6．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：∵5+6＜12，
∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，
故选：C．
7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，3 C．3，4，8 D．4，5，6
【分析】根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边来进行判断．
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故本选项错误；
B、1+2＜3，不能组成三角形，故本选项错误；
C、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项错误；
D、4+5＞6，能组成三角形，故本选项正确．
故选：D．
8．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、1+1＝2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3＝5，不满足三边关系，故错误．
故选：C．
9．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
10．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
11．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
12．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 ．
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．
【解答】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
∵第三边长为奇数，
∴x＝3，
∴这个三角形的周长为2+3+3＝8，
故答案为：8．
13．一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 1＜x≤12 ．
【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，
∴x+(x+1)＞x+2x+(x+1)+(x+2)≤39，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．
14．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 4 ．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
15．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．
【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，
所以其另一边只能是6，
故其周长为6+6+3＝15．
故答案为15．
16．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 15 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
17．已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是 4＜a＜10 ．
【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
7﹣3＜a＜7+3，
即：4＜a＜10．
故答案为：4＜a＜10．
18．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是 2＜a＜8 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边＞两边之差2，而同时第三边＜两边之和8．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边的取值范围是：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8．
故答案为2＜a＜8．
19．已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 cm．
【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．
【解答】解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，
即1＜x＜5，
因为第三边的长为奇数，
所以x＝3，
所以周长＝3+3+2＝8．
故答案为：8；
20．已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有 5 个．
【分析】设第三边的长为x，根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围，进而得到答案．
【解答】解：设第三边的长为x，则
5﹣3＜x＜5+3，
所以2＜x＜8．
∵x为整数，
∴x可取3，4，5，6，7．
故答案为5．
题型四 化简与三角形三边关系
1．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2﹣2ab+b2﹣c2分解因式就可以进行判断．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：C．
2．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 2b﹣2c ．
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c；
故答案为：2b﹣2c
3．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 2c ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
a+c＞b，a﹣b＜c．
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0．
∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝2c．
4．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ．
【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
故答案为：a﹣3b+c．
5．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝ 2b﹣2c ．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|
＝a+b﹣c+b﹣c﹣a
＝2b﹣2c，
故答案为：2b﹣2c．
6．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c，b﹣c﹣a及c﹣a﹣b的符号，再根据绝对值的性质化简；
（2）将a＝5，b＝4，c＝3代入计算即可．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
＝a+b+c；
（2）当a＝5，b＝4，c＝3时，
原式＝5+4+3＝12．
7．已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，然后去绝对值，化简即可求得．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+c＞b，a+b＞c，a+c＞b，
∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|
＝a﹣b+c﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a﹣c+b）
＝a﹣b+c+b﹣c﹣a﹣a+c﹣b
＝c﹣a﹣b．
8．已知：a、b、c分别为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+c＞b，a+b＞c，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
∴|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|，
＝a﹣b+c+a+c﹣b+a+b﹣c，
＝3a﹣b+c．
9．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，
∴5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8，
故|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|
＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）
＝a+1﹣8+a﹣2a+4
＝﹣3．
题型五 三角形“三线”的辨析
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE=12∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=12∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
【分析】根据三角形的高线的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C、∵GC⊥BC，
∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D、∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
故选：B．
7．在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【解答】解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．AF B．BH C．CD D．EC
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．
故选：A．
9．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
【解答】解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D．
故选：D．
题型六 三角形“三线”的性质应用
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
2．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝ 10 cm．
【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．
【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
3．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 ③④ ．
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故答案为③④．
4．已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 11 ．
【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3，
∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11，
故答案为：11
5．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 2 ．
【分析】首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积=12BC•AD=12×2×2＝2．
故答案为2．
7．如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ 5cm ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ 40° ，∠DAF＝ 10° ．
【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：
三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；
三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
根据概念，运用几何式子表示．
【解答】解：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，
∴BE＝5cm，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠BAD＝40°，
∵AF是高，
∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：5cm；40°；10°．
8．如图，在△ABC中，AB＝2018，AC＝2015，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】利用中线的定义可知BD＝CD，那么△ABD和△ACD的周长之差即为AB和AC的差，可求得答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD周长＝AB+AD+BD，△ACD周长＝AC+CD+AD，
∴△ABD周长﹣△ACD周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝2018﹣2015＝3，
即△ABD和△ACD的周长之差是3，
故答案为：3．
9．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ 2 ．
【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，
∴12•AB•ED=12•AC•DF，
∴12×3×ED=12×4×1.5，
∴ED＝2．
10．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
则C△ABD﹣C△ACD
＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD
＝AB﹣AC
＝8﹣5
＝3，
故答案为：3．
11．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝ 95°或35° ．
【分析】此题要分情况考虑：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD．
【解答】解：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝65°+30°＝95°；
当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝65°﹣30°＝35°．
故答案为：95°或35°．
12．如图，△ABC的中线AD与高CE交于点F，AE＝EF，FD＝2，S△ACF＝24，则AB的长为 62 ．
【分析】先判断出△BDM≌△CDF进而得出MB＝CF，∠M＝∠CFD．再判断出△ABM是等腰直角三角形，求得BE＝FN＝22，然后利用S△ACF＝24，即可得出结论．
【解答】解：延长AD至点M，使MD＝FD，连接MB，
在△BDM和△CDF中，
BD=CD∠BDM=∠CDFDM=FD，
∴△BDM≌△CDF（SAS）．
∴MB＝CF，∠M＝∠CFD．
∴EC∥BM，
∵EA＝EF，CE是△ABC的高，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∵EC∥BM，
∴∠ABM＝∠AEF＝90°，
∴∠M＝∠MAB＝45°，
∴AB＝MB，
∴AB＝CF，
∵CE是△ABC的高，S△ACF＝24，
∴12CF•AE＝24，即12AB•AE＝24，
作FN⊥BM于N，
则四边形EFNB是矩形，△FMN是等腰直角三角形，
∴BE＝FN=22FM=22×2FD=2FD＝22，
∴AE＝AB﹣22，
∴12AB•AE=12AB（AB﹣22）＝24，
∴AB＝62（负数舍去），
故答案为62．
方法二：
解：连接BF，作DM⊥CE于M，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，S△BFD＝S△CFD，
∴S△ABF＝S△ACF＝24，
∵AE＝EF，CE⊥AB，
∴∠AFE＝45°，
∴∠DFM＝∠AFE＝45°，
∵FD＝2，
∴DM＝FM=2，
∵DM∥BE，BD＝CD，
∴BE＝2DM＝22，
设AE＝EF＝x，则AB＝22+x，
∴S△ABF=12AB•EF=12（22+x）•x＝24，
解得x＝42，
∴AB＝22+x＝62．
故答案为：62．
13．如图，在△ABC中，AD为中线，E在AC边上，AE＝AB，AD＝CE，若∠BAD＝60°，AB＝3，则线段BC的长度为 213 ．
【分析】延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，根据全等三角形的性质得到CF＝AB＝3，∠F＝∠BAD＝60°，过C作CH⊥DF于H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
在△ABD与△FCD中，
AD=FD∠ADB=∠FDCBD=CD，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴CF＝AB＝3，∠F＝∠BAD＝60°，
过C作CH⊥DF于H，
∴∠CHF＝∠CHD＝90°，
∴∠FCH＝30°，
∴HF=12CF=32，CH=32CF=332，
∵AD＝CE，AE＝AB＝3，
∴设AD＝CE＝DF＝x，
∴AC＝3+x，AH＝2x-32，
∵AC2＝AH2+CH2，
∴（3+x）2＝（2x-32）2+（332）2，
∴x＝4或x＝0（不合题意舍去），
∴AH=132，
∴DH＝DF﹣HF=52，
∴CD=CH2+DH2=13，
∴BC＝2CD＝213，
故答案为：213．
14．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
15．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【分析】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=12∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°
16．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？
【分析】（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求∠BED的度数；
（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；
（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再直接求点E到BC边的距离即可．
【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．
（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△BED=14S△ABC=14×60＝15；
∵BD＝5，
∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，
即点E到BC边的距离为6．
17．在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
【分析】首先根据三角形的高可得∠AFC＝∠AEB＝90°，再利用三角形内角和可以算出∠ABE、∠ACF的度数，再根据角的和差关系算出∠HBC和∠HCB的度数，再利用三角形内角和定理可得∠BHC的度数．
【解答】解：∵BE是AC上的高，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵CF是AB上的高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣20°＝40°，
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝50°，
∴∠BCH＝30°，
∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
18．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高．
（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，则∠DAE＝ 25° ；
（2）若已知∠B＝25°，∠C＝85°，则∠DAE＝ 30° ；
（3）若已知∠B＝α，∠C＝β，且，求∠DAE的度数（结果用含α、β的代数式表示）．
【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=12∠CAB＝45°，∠AEC＝90°，则∠CAE＝90°﹣∠C＝20°，然后利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE计算即可．
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=12∠CAB＝35°，∠AEC＝90°，则∠CAE＝90°﹣∠C＝5°，然后利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE计算即可．
（3）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣α﹣β，再根据角平分线与高线的定义得到∠DAC＝90°-12α-12β，∠AEC＝90°，则∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣β，然后利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE计算即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝20°，
∴∠DAE＝45°﹣20°＝25°；
（2）∵∠B＝25°，∠C＝85°
∴∠BAC＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝35°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝5°，
∴∠DAE＝35°﹣5°＝30°；
（3）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝90°-12α-12β，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°-12α-12β-90°+β=12（β﹣α），
故答案为25°，30°．
题型七 三角形面积（同底等高方法）
1．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2
【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等；
∴S△BEF=12S△BEC，
同理得，
S△EBC=12S△ABC，
∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC＝4，
∴S△BEF＝1，
即阴影部分的面积为1．
故选：B．
2．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．143 C．3 D．72
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC，
S△A1AB1=S△ABB1=S△ABC，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=2S△ABC，
同理：S△B1CC1=2S△ABC，S△A1AC1=2S△ABC，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝7S△ABC＝14．
∴S△ABC＝2，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】首先根据D是BC的中点，可得：S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，再根据E是AD的中点，可得：S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，所以S△BCE=12S△ABC；然后根据F是CE的中点，求出△BEF的面积是多少即可．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，
∴S△BCE=12S△ABC=12×32＝16，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF=12S△BCE=12×16＝8．
答：图中阴影部分面积等于8．
故选：B．
4．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A．12 B．1 C．32 D．2
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝9，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE=12BC，
∵S△ABC＝9，
∴S△ABE=12S△ABC=12×9＝4.5．
∵AD＝2BD，S△ABC＝9，
∴S△BCD=13S△ABC=13×9＝3，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，
即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝4.5﹣3＝1.5．
故选：C．
5．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（ ）
A．9 B．6 C．4.5 D．4
【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的两个三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的 14．
【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴△ABD是△ABC面积的12，△ABE是△ABD面积的12，
∴△ABE的面积＝18×12×12=18×14=4.5．
故选：C．
6．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝12S△ABD，S△ACE＝12S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝12S△ABC，
∴S△BCE=12S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=12S△BCE．
∴△ABC的面积等于△BEF的面积的4倍．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明BD：DC＝2：3，设△ABC的面积为S．则S△ADC=35S，S△BEC=12S，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DM＝DN，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC=12•AB•DN：12•AC•DM＝AB：AC＝2：3，
设△ABC的面积为S．则S△ADC=35S，S△BEC=12S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴35S-12S＝1，
∴S＝10，
故选：C．
8．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：∵AD、CE分别是△ABC的高，
∴S△ABC=12AB•CE=12BC•AD，
∵AD＝2，CE＝4，
∴AB：BC＝AD：CE＝2：4=12．
故选：C．
9．如图，△PBC的面积为15cm2，PB为∠ABC的角平分线，作AP垂直BP于P，则△ABC的面积为（ ）
A．25cm2 B．30cm2 C．32.5cm2 D．35cm2
【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝30cm2，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是12，则△BEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，推出S△BEF=14S△ABC，从而求得△BEF的面积．
【解答】解：∵点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，
∴S△ABD=12S△ABC、S△BDE=12S△ABD、S△CDE=12S△ADC、S△BEF=12S△BEC，
∴S△BEF=14S△ABC；
∵△ABC的面积是12，
∴S△BEF＝3．
故选：B．
11．如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】根据S△ABC＝12和点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，即可得到△DEC的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S△ABC＝12，点D是AB边上的中点，
∴S△ACD＝S△BCD＝6，
又∵点E是BC边上的中点，
∴S△BDE＝S△CDE＝3，
即阴影部分的面积是3，
故选：C．
12．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE=13S△ACF，S△BGF＝S△BGD=13S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF=12S△ABC=12×12＝6，
∴S△CGE=13S△ACF=13×6＝2，S△BGF=13S△BCF=13×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为4．
方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
13．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 7 ．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1＝S△ABC＝1，
S△A1AB1＝S△ABB1＝1，
∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝1+1＝2，
同理：S△B1CC1＝2，S△A1AC1＝2，
∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝2+2+2+1＝7．
故答案为：7．
14．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为 18 ．
【分析】连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得△DEF的面积．
【解答】解：连接AE和CD，
∵BD＝AB，
∴S△ABC＝S△BCD＝1，S△ACD＝1+1＝2，
∵AF＝3AC，
∴FC＝4AC，
∴S△FCD＝4S△ACD＝4×2＝8，
同理可以求得：S△ACE＝2S△ABC＝2，则S△FCE＝4S△ACE＝4×2＝8；
S△DCE＝2S△BCD＝2×1＝2；
∴S△DEF＝S△FCD+S△FCE+S△DCE＝8+8+2＝18．
15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 1cm2 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后求解即可．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝2cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△CDE=12×2＝1cm2，
∴S△BEF=12（S△BDE+S△CDE）=12×（1+1）＝1cm2．
故答案为：1cm2．
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF＝ 2 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=12S△ABD，S△ACE=12S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×8＝4，
∴S△BCE=12S△ABC=12×8＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=12S△BCE=12×4＝2．
故答案为：2．
17．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝ 3 ．
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S△AEC=23S△ABC＝12，S△BCD=12S△ABC＝9，然后利用S△AEC﹣S△BCD＝3即可得到答案．
【解答】解：∵EC＝2BE，
∴S△AEC=23S△ABC=23×18＝12，
∵点D是AC的中点，
∴S△BCD=12S△ABC=12×18＝9，
∴S△AEC﹣S△BCD＝3，
即S△ADF+S四边形CEFD﹣（S△BEF+S四边形CEFD）＝3，
∴S△ADF﹣S△BEF＝3．
故答案为：3．
18．如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，△ABC的面积为8，则△CDE的面积为 2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为8，
∴△ADC的面积为4，
∵CE是△ADC的边AD上的中线，
∴△CDE的面积为2，
故答案为2．
19．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ 440 ．
【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，则△BDM、△BAN是等腰直角三角形，得出BM＝DM，BN＝AN，证明△AEN≌△CDM（AAS），得出AN＝CM，EN＝DM，得出BN＝CM，因此BM＝DM＝CN＝EN，设BE＝5a，则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN=12CE＝3a，CM＝BC﹣BM＝8a，由勾股定理得出CD2＝DM2+CM2＝73a2，由三角形面积求出a2＝10，求出S四边形ADEC=12CD×AE=12CD2＝365，即可得出答案．
【解答】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：
则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形，
∴BM＝DM，BN＝AN，
∵AE⊥CD，
∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°，
∴∠EAN＝∠DCM，
在△AEN和△CDM中，∠ANE=∠CMD∠EAN=∠DCMAE=CD，
∴△AEN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，EN＝DM，
∴BN＝CM，
∴BM＝CN，
∴BM＝DM＝CN＝EN，
∵BE：CE＝5：6，
∴设BE＝5a，
则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN=12CE＝3a，CM＝BC﹣BM＝8a，
∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2，
∵S△BDE=12BE×DM=12×5a×3a＝75，
∴a2＝10，
∵AE⊥CD，AE＝CD，
∴S四边形ADEC=12CD×AE=12CD2=12×73a2=12×73×10＝365，
∴S△ABC＝S△BDE+S四边形ADEC＝75+365＝440；
故答案为：440．
20．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 1 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE计算即可得解．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE=12BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△AEC=12S△ABC=12×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ACD=23S△ABC＝4，
∴S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE＝4﹣3＝1，
即S1﹣S2的值为1．
21．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是 60 ．
【分析】首先根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出S△CGD，S△CGE的大小，进而求出S△BCE的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用S△BCE的面积乘以2，求出△ABC的面积是多少即可．
【解答】解：∵BD＝2DC，
∴S△CGD=12S△BGD=12×16＝8；
∵E是AC的中点，
∴S△CGE＝S△AGE＝6，
∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE
＝16+8+6
＝30
∴△ABC的面积是：30×2＝60．
故答案为：60．
22．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为36cm2，则△BEF的面积＝ 9cm2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵AE＝DE，
∴S△BDE＝S△ABE，S△CDE＝S△ACE，
∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，
∴S△BCE=12S△ABC=12×36＝18（cm2）；
∵EF＝CF，
∴S△BEF＝S△BCF，
∴S△BEF=12S△BCE=12×18＝9（cm2），
即△BEF的面积是9cm2，
故答案为：9cm2．
1.1 认识三角形
知识点梳理
1、三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2、三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
3、三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4、三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
题型梳理
题型一 三角形内角和定理应用
1．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
2．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
4．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
6．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
7．适合条件∠A=12∠B=13∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
9．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）
A．62° B．152° C．208° D．236°
10．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A=12∠B=13∠C
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
12．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝ 度．
13．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为 ．
14．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
15．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝ ．
16．如图，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C＝75°，则∠AOE＝ 度．
17．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD＝BD，∠A＝23°，∠BCE＝44°，求∠ACB的度数．
题型二 三角形内角和与翻折题型
1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
2．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
3．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27° B．59° C．69° D．79°
4．如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为 ．
5．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 ．
6．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ ．
7．如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝102°，则∠A的度数是 ．
8．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为 ．
9．如图，将∠ACB沿EF折叠，点C落在C'处．若∠BFE＝65°．则∠BFC'的度数为 ．
题型三 三角形三边关系直接运用
1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4
6．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，3 C．3，4，8 D．4，5，6
8．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
9．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
10．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
12．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．
13．一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 ．
14．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
15．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ．
16．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
17．已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是 ．
18．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是 ．
19．已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为 cm．
20．已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有 个．
题型四 化简与三角形三边关系
1．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
2．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 ．
3．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ ．
4．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
5．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝ ．
6．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．
7．已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．
8．已知：a、b、c分别为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|．
9．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．
题型五 三角形“三线”的辨析
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE=12∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．C．D．
5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
7．在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．AF B．BH C．CD D．EC
9．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六 三角形“三线”的性质应用
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
2．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝ cm．
3．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 ．
4．已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 ．
5．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 ．
7．如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ ，∠DAF＝ ．
8．如图，在△ABC中，AB＝2018，AC＝2015，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
9．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ．
10．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
11．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝ ．
12．如图，△ABC的中线AD与高CE交于点F，AE＝EF，FD＝2，S△ACF＝24，则AB的长为 ．
13．如图，在△ABC中，AD为中线，E在AC边上，AE＝AB，AD＝CE，若∠BAD＝60°，AB＝3，则线段BC的长度为 ．
14．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
15．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
16．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？
17．在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
18．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高．
（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，则∠DAE＝ ；
（2）若已知∠B＝25°，∠C＝85°，则∠DAE＝ ；
（3）若已知∠B＝α，∠C＝β，且，求∠DAE的度数（结果用含α、β的代数式表示）．
题型七 三角形面积（同底等高方法）
1．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2
2．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．143 C．3 D．72
3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
4．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A．12 B．1 C．32 D．2
5．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（ ）
A．9 B．6 C．4.5 D．4
6．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
7．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
9．如图，△PBC的面积为15cm2，PB为∠ABC的角平分线，作AP垂直BP于P，则△ABC的面积为（ ）
A．25cm2 B．30cm2 C．32.5cm2 D．35cm2
10．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是12，则△BEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 ．
13．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 ．
14．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为 ．
15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 ．
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF＝ cm2．
17．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
18．如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，△ABC的面积为8，则△CDE的面积为 ．
19．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ．
20．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 ．
21．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是 ．
22．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为36cm2，则△BEF的面积＝ ．
参考答案与试题解析
题型一 三角形内角和定理应用
1．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
2．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD＝30°，依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE＝5°，再根据△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，可得∠EAD+∠ACD＝75°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，
故选：A．
3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
【分析】法一：设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
法二：易得∠1+∠2+∠3＝540°﹣120°﹣180°﹣90°＝150°，由此解决问题即可．
【解答】解：法一：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，
∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠3＝50°，
∴∠1+∠2＝150°﹣50°＝100°．
法二：图中∠1+∠2+∠3+小三角形的三个内角再加两个等边三角形的两个内角，再加正方形的一个内角，总和为180°*3＝540°，减去三角形的三个内角之和180°，再减去两个三角形的内角60°*2＝120°，再减去正方形的内角90°，则易得∠1+∠2+∠3＝540°﹣120°﹣180°﹣90°＝150°，而∠3＝50°，所以∠1+∠2＝100°．
故选：B．
4．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【分析】首先根据三角板可知：∠CBA＝60°，∠BCD＝45°，再根据三角形内角和为180°，可以求出∠α的度数．
【解答】解：∵∠CBA＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠α＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
6．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角为4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
7．适合条件∠A=12∠B=13∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A=12∠B=13∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
8．在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
9．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）
A．62° B．152° C．208° D．236°
【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，
故选：C．
10．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A=12∠B=13∠C
【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：A、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝2∠B＝3∠C，则∠A=108011°，所以A选项错误；
B、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；
C、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝∠B＝30°，则∠C＝150°，所以B选项错误；
D、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A=12∠B=13∠C，则∠C＝90°，所以D选项正确．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ 70° ．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠2）+12（∠B+∠1）=12（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（12∠DAC+12∠ACF）＝70°．
故答案为：70°．
12．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝ 74 度．
【分析】利用三角形的内角和角平分线的定义解决问题．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝68°，
∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
∴∠BCE＝34°，∠BCD＝90°﹣72°＝18°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF＝90°﹣（34°﹣18°）＝74°．
故答案为：74．
13．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为 40° ．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，
∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+3x+4x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠A的度数为：40°．
故答案为：40°．
14．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 60或10 度．
【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60或10；
15．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝ 60° ．
【分析】设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，再根据三角形的内角和是180°列方程求解．
【解答】解：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°．
则有2x+3x+4x＝180，
x＝20．
则∠B＝3x°＝60°；
故答案为：60°．
16．如图，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C＝75°，则∠AOE＝ 75 度．
【分析】利用等角的余角相等证明∠AOE＝∠C即可解决问题．
【解答】解：∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEO＝∠ADC＝90°，
∴∠EAO+∠AOE＝90°，∠EAO+∠C＝90°，
∴∠AOE＝∠C＝75°，
故答案为75．
17．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD＝BD，∠A＝23°，∠BCE＝44°，求∠ACB的度数．
【分析】根据等角对等边得出∠ABD＝∠A，再利用平行线的性质得出∠DBC＝∠BCE，进而利用三角形的内角和解答即可．
【解答】解：∵AD＝BD，∠A＝23°，
∴∠ABD＝∠A＝23°，
∵BG∥EF，∠BCE＝44°，
∴∠DBC＝∠BCE＝44°，
∴∠ABC＝44°+23°＝67°，
∴∠ACB＝180°﹣67°﹣23°＝90°．
题型二 三角形内角和与翻折题型
1．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根据四边形的内角和为360°及翻折的性质，就可求出2∠A＝∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【解答】解：2∠A＝∠1+∠2，
理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，
则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，
∴可得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
2．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：C．
3．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27° B．59° C．69° D．79°
【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．
【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠ABC＝3∠3＝81°，
∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．
4．如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为 40° ．
【分析】由翻折的性质可知：∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠A′ED=12（180°﹣70°）＝55°，求出∠ADE即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠A′ED=12（180°﹣70°）＝55°，
∵∠A＝55°，
∴∠ADE＝∠EDA′＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∴∠A′DB＝180°﹣140°＝40°，
故答案为40°．
5．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 65° ．
【分析】根据折叠的性质得到∠3＝∠5，∠4＝∠6，利用平角的定义有∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，则2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，而∠1+∠2＝130°，可计算出∠3+∠4＝115°，然后根据三角形内角和定理即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵△ABC的一角折叠，
∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，
而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，
∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，
∵∠1+∠2＝130°，
∴∠3+∠4＝115°，
∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．
故答案为：65°．
6．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ 35° ．
【分析】根据折叠的性质得到∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED＝145°，由三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝145°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
7．如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝102°，则∠A的度数是 51° ．
【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A＝∠D，∠AED+∠AFD＝258°，即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，延长B'E，C'F，交于点D，
由折叠可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝102°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣102°＝258°，
∴四边形AEDF中，∠A=12（360°﹣258°）＝51°，
故答案为：51°．
8．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为 30° ．
【分析】利用平行线的性质求出∠ADE＝75°，再由法则不变性推出∠ADE＝∠EDF＝75°即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝75°，
又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为30°．
9．如图，将∠ACB沿EF折叠，点C落在C'处．若∠BFE＝65°．则∠BFC'的度数为 50° ．
【分析】设∠BFC′的度数为α，则∠EFC＝∠EFC'＝65°+α，依据∠EFB+∠EFC＝180°，即可得到α的大小．
【解答】解：设∠BFC′的度数为α，则∠EFC'＝65°+α，
由折叠可得，∠EFC＝∠EFC'＝65°+α，
又∵∠BFC＝180°，
∴∠EFB+∠EFC＝180°，
∴65°+65°+α＝180°，
∴α＝50°，
∴∠BFC′的度数为50°，
故答案为：50°
题型三 三角形三边关系直接运用
1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
【解答】解：A、因为2+3＝5，所以不能构成三角形，故A错误；
B、因为2+4＜7，所以不能构成三角形，故B错误；
C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
【解答】解：A、∵5+4＝9，9＝9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8＝16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5＝10，10＝10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7＝13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
3．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．
【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故选：C．
4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：D．
5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4
【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A．∵3+2＝5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；
B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；
故选：D．
6．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：∵5+6＜12，
∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，
故选：C．
7．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，2，3 C．3，4，8 D．4，5，6
【分析】根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边来进行判断．
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故本选项错误；
B、1+2＜3，不能组成三角形，故本选项错误；
C、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项错误；
D、4+5＞6，能组成三角形，故本选项正确．
故选：D．
8．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、1+1＝2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3＝5，不满足三边关系，故错误．
故选：C．
9．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
10．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
11．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
12．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 ．
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．
【解答】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
∵第三边长为奇数，
∴x＝3，
∴这个三角形的周长为2+3+3＝8，
故答案为：8．
13．一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 1＜x≤12 ．
【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，
∴x+(x+1)＞x+2x+(x+1)+(x+2)≤39，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．
14．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 4 ．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
15．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 15 ．
【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，
所以其另一边只能是6，
故其周长为6+6+3＝15．
故答案为15．
16．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 15 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
17．已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是 4＜a＜10 ．
【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
7﹣3＜a＜7+3，
即：4＜a＜10．
故答案为：4＜a＜10．
18．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是 2＜a＜8 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边＞两边之差2，而同时第三边＜两边之和8．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边的取值范围是：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8．
故答案为2＜a＜8．
19．已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 cm．
【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．
【解答】解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，
即1＜x＜5，
因为第三边的长为奇数，
所以x＝3，
所以周长＝3+3+2＝8．
故答案为：8；
20．已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有 5 个．
【分析】设第三边的长为x，根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围，进而得到答案．
【解答】解：设第三边的长为x，则
5﹣3＜x＜5+3，
所以2＜x＜8．
∵x为整数，
∴x可取3，4，5，6，7．
故答案为5．
题型四 化简与三角形三边关系
1．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2﹣2ab+b2﹣c2分解因式就可以进行判断．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：C．
2．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 2b﹣2c ．
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c；
故答案为：2b﹣2c
3．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 2c ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
a+c＞b，a﹣b＜c．
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0．
∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝2c．
4．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ．
【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
故答案为：a﹣3b+c．
5．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝ 2b﹣2c ．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|
＝a+b﹣c+b﹣c﹣a
＝2b﹣2c，
故答案为：2b﹣2c．
6．已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）在（1）的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c，b﹣c﹣a及c﹣a﹣b的符号，再根据绝对值的性质化简；
（2）将a＝5，b＝4，c＝3代入计算即可．
【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
＝a+b+c；
（2）当a＝5，b＝4，c＝3时，
原式＝5+4+3＝12．
7．已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，然后去绝对值，化简即可求得．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+c＞b，a+b＞c，a+c＞b，
∴a﹣b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，a﹣c+b＞0，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|
＝a﹣b+c﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a﹣c+b）
＝a﹣b+c+b﹣c﹣a﹣a+c﹣b
＝c﹣a﹣b．
8．已知：a、b、c分别为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+c＞b，a+b＞c，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
∴|a﹣b+c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|，
＝a﹣b+c+a+c﹣b+a+b﹣c，
＝3a﹣b+c．
9．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，
∴5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8，
故|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|
＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）
＝a+1﹣8+a﹣2a+4
＝﹣3．
题型五 三角形“三线”的辨析
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE=12∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=12∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
【分析】根据三角形的高线的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C、∵GC⊥BC，
∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D、∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
故选：B．
7．在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【解答】解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．AF B．BH C．CD D．EC
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．
故选：A．
9．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
【解答】解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D．
故选：D．
题型六 三角形“三线”的性质应用
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
2．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝ 10 cm．
【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．
【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
3．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 ③④ ．
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故答案为③④．
4．已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 11 ．
【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3，
∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11，
故答案为：11
5．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 2 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 2 ．
【分析】首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积=12BC•AD=12×2×2＝2．
故答案为2．
7．如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝ 5cm ；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝ 40° ，∠DAF＝ 10° ．
【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：
三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；
三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．
根据概念，运用几何式子表示．
【解答】解：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，
∴BE＝5cm，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠BAD＝40°，
∵AF是高，
∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：5cm；40°；10°．
8．如图，在△ABC中，AB＝2018，AC＝2015，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】利用中线的定义可知BD＝CD，那么△ABD和△ACD的周长之差即为AB和AC的差，可求得答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD周长＝AB+AD+BD，△ACD周长＝AC+CD+AD，
∴△ABD周长﹣△ACD周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝2018﹣2015＝3，
即△ABD和△ACD的周长之差是3，
故答案为：3．
9．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ 2 ．
【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，
∴12•AB•ED=12•AC•DF，
∴12×3×ED=12×4×1.5，
∴ED＝2．
10．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
则C△ABD﹣C△ACD
＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD
＝AB﹣AC
＝8﹣5
＝3，
故答案为：3．
11．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝ 95°或35° ．
【分析】此题要分情况考虑：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD．
【解答】解：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝65°+30°＝95°；
当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝65°﹣30°＝35°．
故答案为：95°或35°．
12．如图，△ABC的中线AD与高CE交于点F，AE＝EF，FD＝2，S△ACF＝24，则AB的长为 62 ．
【分析】先判断出△BDM≌△CDF进而得出MB＝CF，∠M＝∠CFD．再判断出△ABM是等腰直角三角形，求得BE＝FN＝22，然后利用S△ACF＝24，即可得出结论．
【解答】解：延长AD至点M，使MD＝FD，连接MB，
在△BDM和△CDF中，
BD=CD∠BDM=∠CDFDM=FD，
∴△BDM≌△CDF（SAS）．
∴MB＝CF，∠M＝∠CFD．
∴EC∥BM，
∵EA＝EF，CE是△ABC的高，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∵EC∥BM，
∴∠ABM＝∠AEF＝90°，
∴∠M＝∠MAB＝45°，
∴AB＝MB，
∴AB＝CF，
∵CE是△ABC的高，S△ACF＝24，
∴12CF•AE＝24，即12AB•AE＝24，
作FN⊥BM于N，
则四边形EFNB是矩形，△FMN是等腰直角三角形，
∴BE＝FN=22FM=22×2FD=2FD＝22，
∴AE＝AB﹣22，
∴12AB•AE=12AB（AB﹣22）＝24，
∴AB＝62（负数舍去），
故答案为62．
方法二：
解：连接BF，作DM⊥CE于M，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，S△BFD＝S△CFD，
∴S△ABF＝S△ACF＝24，
∵AE＝EF，CE⊥AB，
∴∠AFE＝45°，
∴∠DFM＝∠AFE＝45°，
∵FD＝2，
∴DM＝FM=2，
∵DM∥BE，BD＝CD，
∴BE＝2DM＝22，
设AE＝EF＝x，则AB＝22+x，
∴S△ABF=12AB•EF=12（22+x）•x＝24，
解得x＝42，
∴AB＝22+x＝62．
故答案为：62．
13．如图，在△ABC中，AD为中线，E在AC边上，AE＝AB，AD＝CE，若∠BAD＝60°，AB＝3，则线段BC的长度为 213 ．
【分析】延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，根据全等三角形的性质得到CF＝AB＝3，∠F＝∠BAD＝60°，过C作CH⊥DF于H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
在△ABD与△FCD中，
AD=FD∠ADB=∠FDCBD=CD，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴CF＝AB＝3，∠F＝∠BAD＝60°，
过C作CH⊥DF于H，
∴∠CHF＝∠CHD＝90°，
∴∠FCH＝30°，
∴HF=12CF=32，CH=32CF=332，
∵AD＝CE，AE＝AB＝3，
∴设AD＝CE＝DF＝x，
∴AC＝3+x，AH＝2x-32，
∵AC2＝AH2+CH2，
∴（3+x）2＝（2x-32）2+（332）2，
∴x＝4或x＝0（不合题意舍去），
∴AH=132，
∴DH＝DF﹣HF=52，
∴CD=CH2+DH2=13，
∴BC＝2CD＝213，
故答案为：213．
14．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
15．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【分析】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=12∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°
16．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？
【分析】（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求∠BED的度数；
（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；
（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再直接求点E到BC边的距离即可．
【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．
（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△BED=14S△ABC=14×60＝15；
∵BD＝5，
∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，
即点E到BC边的距离为6．
17．在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
【分析】首先根据三角形的高可得∠AFC＝∠AEB＝90°，再利用三角形内角和可以算出∠ABE、∠ACF的度数，再根据角的和差关系算出∠HBC和∠HCB的度数，再利用三角形内角和定理可得∠BHC的度数．
【解答】解：∵BE是AC上的高，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵CF是AB上的高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣20°＝40°，
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝50°，
∴∠BCH＝30°，
∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
18．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高．
（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，则∠DAE＝ 25° ；
（2）若已知∠B＝25°，∠C＝85°，则∠DAE＝ 30° ；
（3）若已知∠B＝α，∠C＝β，且，求∠DAE的度数（结果用含α、β的代数式表示）．
【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=12∠CAB＝45°，∠AEC＝90°，则∠CAE＝90°﹣∠C＝20°，然后利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE计算即可．
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=12∠CAB＝35°，∠AEC＝90°，则∠CAE＝90°﹣∠C＝5°，然后利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE计算即可．
（3）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣α﹣β，再根据角平分线与高线的定义得到∠DAC＝90°-12α-12β，∠AEC＝90°，则∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣β，然后利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE计算即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝20°，
∴∠DAE＝45°﹣20°＝25°；
（2）∵∠B＝25°，∠C＝85°
∴∠BAC＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝35°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝5°，
∴∠DAE＝35°﹣5°＝30°；
（3）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝90°-12α-12β，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°-12α-12β-90°+β=12（β﹣α），
故答案为25°，30°．
题型七 三角形面积（同底等高方法）
1．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.25cm2 D．0.5cm2
【分析】如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等；
∴S△BEF=12S△BEC，
同理得，
S△EBC=12S△ABC，
∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC＝4，
∴S△BEF＝1，
即阴影部分的面积为1．
故选：B．
2．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．143 C．3 D．72
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC，
S△A1AB1=S△ABB1=S△ABC，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=2S△ABC，
同理：S△B1CC1=2S△ABC，S△A1AC1=2S△ABC，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝7S△ABC＝14．
∴S△ABC＝2，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】首先根据D是BC的中点，可得：S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，再根据E是AD的中点，可得：S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，所以S△BCE=12S△ABC；然后根据F是CE的中点，求出△BEF的面积是多少即可．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，
∴S△BCE=12S△ABC=12×32＝16，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF=12S△BCE=12×16＝8．
答：图中阴影部分面积等于8．
故选：B．
4．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）
A．12 B．1 C．32 D．2
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝9，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE=12BC，
∵S△ABC＝9，
∴S△ABE=12S△ABC=12×9＝4.5．
∵AD＝2BD，S△ABC＝9，
∴S△BCD=13S△ABC=13×9＝3，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，
即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝4.5﹣3＝1.5．
故选：C．
5．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（ ）
A．9 B．6 C．4.5 D．4
【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的两个三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的 14．
【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴△ABD是△ABC面积的12，△ABE是△ABD面积的12，
∴△ABE的面积＝18×12×12=18×14=4.5．
故选：C．
6．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝12S△ABD，S△ACE＝12S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝12S△ABC，
∴S△BCE=12S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=12S△BCE．
∴△ABC的面积等于△BEF的面积的4倍．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明BD：DC＝2：3，设△ABC的面积为S．则S△ADC=35S，S△BEC=12S，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DM＝DN，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC=12•AB•DN：12•AC•DM＝AB：AC＝2：3，
设△ABC的面积为S．则S△ADC=35S，S△BEC=12S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴35S-12S＝1，
∴S＝10，
故选：C．
8．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（ ）
A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：∵AD、CE分别是△ABC的高，
∴S△ABC=12AB•CE=12BC•AD，
∵AD＝2，CE＝4，
∴AB：BC＝AD：CE＝2：4=12．
故选：C．
9．如图，△PBC的面积为15cm2，PB为∠ABC的角平分线，作AP垂直BP于P，则△ABC的面积为（ ）
A．25cm2 B．30cm2 C．32.5cm2 D．35cm2
【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝30cm2，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是12，则△BEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，推出S△BEF=14S△ABC，从而求得△BEF的面积．
【解答】解：∵点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，
∴S△ABD=12S△ABC、S△BDE=12S△ABD、S△CDE=12S△ADC、S△BEF=12S△BEC，
∴S△BEF=14S△ABC；
∵△ABC的面积是12，
∴S△BEF＝3．
故选：B．
11．如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】根据S△ABC＝12和点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，即可得到△DEC的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S△ABC＝12，点D是AB边上的中点，
∴S△ACD＝S△BCD＝6，
又∵点E是BC边上的中点，
∴S△BDE＝S△CDE＝3，
即阴影部分的面积是3，
故选：C．
12．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE=13S△ACF，S△BGF＝S△BGD=13S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF=12S△ABC=12×12＝6，
∴S△CGE=13S△ACF=13×6＝2，S△BGF=13S△BCF=13×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为4．
方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
13．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 7 ．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1＝S△ABC＝1，
S△A1AB1＝S△ABB1＝1，
∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝1+1＝2，
同理：S△B1CC1＝2，S△A1AC1＝2，
∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝2+2+2+1＝7．
故答案为：7．
14．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为 18 ．
【分析】连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得△DEF的面积．
【解答】解：连接AE和CD，
∵BD＝AB，
∴S△ABC＝S△BCD＝1，S△ACD＝1+1＝2，
∵AF＝3AC，
∴FC＝4AC，
∴S△FCD＝4S△ACD＝4×2＝8，
同理可以求得：S△ACE＝2S△ABC＝2，则S△FCE＝4S△ACE＝4×2＝8；
S△DCE＝2S△BCD＝2×1＝2；
∴S△DEF＝S△FCD+S△FCE+S△DCE＝8+8+2＝18．
15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为 1cm2 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后求解即可．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝2cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△CDE=12×2＝1cm2，
∴S△BEF=12（S△BDE+S△CDE）=12×（1+1）＝1cm2．
故答案为：1cm2．
16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF＝ 2 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=12S△ABD，S△ACE=12S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×8＝4，
∴S△BCE=12S△ABC=12×8＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=12S△BCE=12×4＝2．
故答案为：2．
17．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝18，则S△ADF﹣S△BEF＝ 3 ．
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S△AEC=23S△ABC＝12，S△BCD=12S△ABC＝9，然后利用S△AEC﹣S△BCD＝3即可得到答案．
【解答】解：∵EC＝2BE，
∴S△AEC=23S△ABC=23×18＝12，
∵点D是AC的中点，
∴S△BCD=12S△ABC=12×18＝9，
∴S△AEC﹣S△BCD＝3，
即S△ADF+S四边形CEFD﹣（S△BEF+S四边形CEFD）＝3，
∴S△ADF﹣S△BEF＝3．
故答案为：3．
18．如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，△ABC的面积为8，则△CDE的面积为 2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为8，
∴△ADC的面积为4，
∵CE是△ADC的边AD上的中线，
∴△CDE的面积为2，
故答案为2．
19．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ 440 ．
【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，则△BDM、△BAN是等腰直角三角形，得出BM＝DM，BN＝AN，证明△AEN≌△CDM（AAS），得出AN＝CM，EN＝DM，得出BN＝CM，因此BM＝DM＝CN＝EN，设BE＝5a，则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN=12CE＝3a，CM＝BC﹣BM＝8a，由勾股定理得出CD2＝DM2+CM2＝73a2，由三角形面积求出a2＝10，求出S四边形ADEC=12CD×AE=12CD2＝365，即可得出答案．
【解答】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：
则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形，
∴BM＝DM，BN＝AN，
∵AE⊥CD，
∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°，
∴∠EAN＝∠DCM，
在△AEN和△CDM中，∠ANE=∠CMD∠EAN=∠DCMAE=CD，
∴△AEN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，EN＝DM，
∴BN＝CM，
∴BM＝CN，
∴BM＝DM＝CN＝EN，
∵BE：CE＝5：6，
∴设BE＝5a，
则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN=12CE＝3a，CM＝BC﹣BM＝8a，
∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2，
∵S△BDE=12BE×DM=12×5a×3a＝75，
∴a2＝10，
∵AE⊥CD，AE＝CD，
∴S四边形ADEC=12CD×AE=12CD2=12×73a2=12×73×10＝365，
∴S△ABC＝S△BDE+S四边形ADEC＝75+365＝440；
故答案为：440．
20．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 1 ．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE计算即可得解．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE=12BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△AEC=12S△ABC=12×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ACD=23S△ABC＝4，
∴S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE＝4﹣3＝1，
即S1﹣S2的值为1．
21．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是 60 ．
【分析】首先根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出S△CGD，S△CGE的大小，进而求出S△BCE的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用S△BCE的面积乘以2，求出△ABC的面积是多少即可．
【解答】解：∵BD＝2DC，
∴S△CGD=12S△BGD=12×16＝8；
∵E是AC的中点，
∴S△CGE＝S△AGE＝6，
∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE
＝16+8+6
＝30
∴△ABC的面积是：30×2＝60．
故答案为：60．
22．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为36cm2，则△BEF的面积＝ 9cm2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵AE＝DE，
∴S△BDE＝S△ABE，S△CDE＝S△ACE，
∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，
∴S△BCE=12S△ABC=12×36＝18（cm2）；
∵EF＝CF，
∴S△BEF＝S△BCF，
∴S△BEF=12S△BCE=12×18＝9（cm2），
即△BEF的面积是9cm2，
故答案为：9cm2．
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