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初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识1.2 定义与命题优秀教学设计及反思
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这是一份初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识1.2 定义与命题优秀教学设计及反思，共53页。教案主要包含了真假命题的辨析，寻找“条件”与“结论”，角平分线性质的应用，“燕尾模型”与三角形的外角性质，“拐点模型”与三角形的外角性质等内容，欢迎下载使用。
1.2 定义与命题
知识点梳理
1、命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2、角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
3、三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
题型梳理
题型一 真假命题的辨析
1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短
A．3 B．2 C．1 D．0
4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
6．下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形两锐角互余
D．平行于同一直线的两条直线平行
7．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
8．下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．邻补角一定互补
C．相等的角是对顶角
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．-12 C．0 D．12
12．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．直角的补角仍然是直角 D．垂线段最短
13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4：7，则△ABC是直角三角形
14．下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形
B．对角线垂直平分的四边形是菱形
C．矩形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
题型二 寻找“条件”与“结论”
1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ．
3．命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
4．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：
．
6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
题型三 角平分线性质的应用
1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（ ）
A．3 B．2 C．3 D．3+2
5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC＝180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；
④∠BAC＝2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是 ．
10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 度．
11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为 cm．
题型四 “燕尾模型”与三角形的外角性质
1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为 ．
7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝ 度，若∠AIB＝155°，则∠C＝ 度．
8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝ 度．
9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为 ．
10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠1+∠2=12(180°-∠A)=90°-12∠A
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°-12∠A）
=90°+12∠A
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ．
12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
题型五 “拐点模型”与三角形的外角性质
1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 度．
答案和解析
题型一 真假命题的辨析
1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．
【解答】解：
在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选：B．
2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．
【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当②∠C＝∠D，
故∠4＝∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A＝∠F，
即①②⇒③；
当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
故可得：∠C＝∠D，
即①③⇒②；
当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
当②∠C＝∠D，
则∠4＝∠D，
故DB∥EC，
则∠2＝∠3，
可得：∠1＝∠2，
即②③⇒①，
故正确的有3个．
故选：D．
3．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．
【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；
图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；
两直线平行，内错角相等，④是假命题；
相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；
垂线段最短，⑥是真命题，
故选：C．
4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．
【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；
②两直线平行，同位角相等；②假命题；
③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；
真命题的个数为0，
故选：A．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
6．下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形两锐角互余
D．平行于同一直线的两条直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角的性质、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；
B、对顶角相等，本选项说法是真命题；
C、直角三角形两锐角互余，本选项说法是真命题；
D、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；
故选：A．
7．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：A．
8．下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；
B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；
D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；
故选：C．
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．邻补角一定互补
C．相等的角是对顶角
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；
B、根据邻补角的定义，故此选项正确；
C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误．
故选：B．
10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．-12 C．0 D．12
【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．
【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．
故选：A．
12．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．直角的补角仍然是直角 D．垂线段最短
【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、直角的补角仍然是直角，是真命题；
D、垂线段最短，是真命题；
故选：B．
13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4：7，则△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．
【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；
C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；
D、如果a：b；c＝3：4：7，32+(7)2=42，则△ABC是直角三角形，正确；
故选：D．
14．下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形
B．对角线垂直平分的四边形是菱形
C．矩形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；
B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；
C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．
故选：A．
题型二 寻找“条件”与“结论”
1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．
3．命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 ．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
4．命题“对顶角相等”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 ．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行 ．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行”．
题型三 角平分线性质的应用
1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，
故选：C．
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（ ）
A．3 B．2 C．3 D．3+2
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故选：C．
5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC＝180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；
④∠BAC＝2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；
根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；
根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，
①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC＝180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，AP=APPM=PD，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），
∴AD＝AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，
∴CD＝CN，
∴AM+CN＝AD+CD＝AC，
故本小题正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN=12∠ACF＝∠BPC+12∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述，①③④正确．
故选：B．
6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，
故选：B．
7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE=12∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，
故选：D．
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是 3 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC=12×4×2+12AC•2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是 15 ．
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是12×DE×BC=12×10×3＝15，
故答案为：15．
10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 35 度．
【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．
【解答】解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE＝EB＝EF，
又∵∠B＝90°，且AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB＝∠EAF．
又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CDA＝110°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝70°，
∴∠EAB＝35°．
故答案为：35．
11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为 2.4 cm．
【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝DF，
S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
=12AB•DF+12BC•DE，
=12×12•DE+12×18•DE，
＝15DE，
∵△ABC＝36cm2，
∴15DE＝36，
解得DE＝2.4cm．
故答案为：2.4．
题型四 “燕尾模型”与三角形的外角性质
1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBM=12∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM=12∠ACM，
则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM=12×（∠ACM﹣∠ABC）=12∠A＝30°，
故选：B．
3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+12∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
=12（∠ACD﹣∠ABC）
=12∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°-12（∠ABC+∠ACB）
＝180°-12（180°﹣∠1）
＝90°+12∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，
∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 75° ．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，
∴∠α＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°．
6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为 150° ．
【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠CEB＝∠A+∠D，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：延长DC交AB于E，
∠CEB是△ADE的一个外角，
∴∠CEB＝∠A+∠D，
同理，∠BCD＝∠CEB+∠B，
∴∠A+∠B+∠D＝∠CEB+∠B＝∠BCD＝150°，
故答案为：150°．
7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝ 125 度，若∠AIB＝155°，则∠C＝ 130 度．
【分析】作出辅助线，构造三角形的外角解答．
【解答】解：连接CI并延长交AB于P．
∵AI平分∠CAP，
∴∠1＝∠2．
∵BI平分∠CBP，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3=12（∠CAB+∠CBA）=12×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠7+∠8＝∠1+∠3+∠5+∠6＝55°+70°＝125°．
∵∠AIB＝155°，
∴∠2+∠4＝180°﹣155°＝25°，
又∵∠CAP、∠CBP的平分线，相交于点I，
∴∠CAP+∠CBP＝2×25°＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°．
8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝ 125 度．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．
【解答】解：在△ABD中，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，
∴∠BHC＝90°+35°＝125°．
9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为 57° ．
【分析】延长CD交AB于F，根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算即可．
【解答】解：延长CD交AB于F，
∵∠BDC是△BFD的一个外角，
∴∠BFD＝∠BDC﹣∠B＝104°﹣30°＝74°，
∵∠BFD是△AFC的一个外角，
∴∠ACF＝∠BFD﹣∠A＝74°﹣40°＝34°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠FCE=12∠ACF＝17°，
∵∠BEC是△AEC的一个外角，
∴∠BEC＝∠ACE+∠A＝17°+40°＝57°，
故答案为：57°．
10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）
=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
=12（180°+∠A）
＝90°+12∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-12∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
=12∠ABC+12∠MBC
=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°-12∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则12∠A＝2（90°-12∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠1+∠2=12(180°-∠A)=90°-12∠A
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°-12∠A）
=90°+12∠A
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ∠BOC＝90°-12∠A ．
【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC=12∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠2=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC＝∠2﹣∠1=12∠A+∠1﹣∠1=12∠A；
（2）探究3：∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A+∠ABC），
∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），
＝180°-12∠A-12（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC＝90°-12∠A．
12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【分析】（1）作射线AO，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．
【解答】解：（1）作射线AO，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．
13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CED＝∠AEF＝55°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣55°﹣42°＝83°．
答：∠ACD的度数为83°．
题型五 “拐点模型”与三角形的外角性质
1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
【分析】根据三角形外角性质求出∠DBC，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，
∴∠DBC＝∠A+∠C＝59°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠DBC＝59°，
故选：B．
3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 48 度．
【分析】根据平行线的性质得∠BFD＝∠B＝68°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得∠D＝∠BFD﹣∠E，由此即可求∠D．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝68°，
∴∠BFD＝∠B＝68°，
而∠D＝∠BFD﹣∠E＝68°﹣20°＝48°．
故答案为：48．
1.2 定义与命题
知识点梳理
1、命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2、角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
3、三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
题型梳理
题型一 真假命题的辨析
1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短
A．3 B．2 C．1 D．0
4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
6．下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形两锐角互余
D．平行于同一直线的两条直线平行
7．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
8．下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．邻补角一定互补
C．相等的角是对顶角
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．-12 C．0 D．12
12．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．直角的补角仍然是直角 D．垂线段最短
13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4：7，则△ABC是直角三角形
14．下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形
B．对角线垂直平分的四边形是菱形
C．矩形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
题型二 寻找“条件”与“结论”
1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ．
3．命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
4．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：
．
6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
题型三 角平分线性质的应用
1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（ ）
A．3 B．2 C．3 D．3+2
5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC＝180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；
④∠BAC＝2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是 ．
10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 度．
11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为 cm．
题型四 “燕尾模型”与三角形的外角性质
1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为 ．
7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝ 度，若∠AIB＝155°，则∠C＝ 度．
8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝ 度．
9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为 ．
10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠1+∠2=12(180°-∠A)=90°-12∠A
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°-12∠A）
=90°+12∠A
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ．
12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
题型五 “拐点模型”与三角形的外角性质
1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 度．
答案和解析
题型一 真假命题的辨析
1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．
【解答】解：
在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选：B．
2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．
【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当②∠C＝∠D，
故∠4＝∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A＝∠F，
即①②⇒③；
当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
故可得：∠C＝∠D，
即①③⇒②；
当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
当②∠C＝∠D，
则∠4＝∠D，
故DB∥EC，
则∠2＝∠3，
可得：∠1＝∠2，
即②③⇒①，
故正确的有3个．
故选：D．
3．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．
【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；
图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；
两直线平行，内错角相等，④是假命题；
相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；
垂线段最短，⑥是真命题，
故选：C．
4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．
【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；
②两直线平行，同位角相等；②假命题；
③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；
真命题的个数为0，
故选：A．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
6．下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形两锐角互余
D．平行于同一直线的两条直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角的性质、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；
B、对顶角相等，本选项说法是真命题；
C、直角三角形两锐角互余，本选项说法是真命题；
D、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；
故选：A．
7．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：A．
8．下列哪一个是假命题（ ）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；
B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；
D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；
故选：C．
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．邻补角一定互补
C．相等的角是对顶角
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；
B、根据邻补角的定义，故此选项正确；
C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误．
故选：B．
10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．-12 C．0 D．12
【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．
【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．
故选：A．
12．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．直角的补角仍然是直角 D．垂线段最短
【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、直角的补角仍然是直角，是真命题；
D、垂线段最短，是真命题；
故选：B．
13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（ ）
A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形
D．如果a：b；c＝3：4：7，则△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．
【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；
C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；
D、如果a：b；c＝3：4：7，32+(7)2=42，则△ABC是直角三角形，正确；
故选：D．
14．下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形
B．对角线垂直平分的四边形是菱形
C．矩形的对角线平分且相等
D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；
B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；
C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；
D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．
故选：A．
题型二 寻找“条件”与“结论”
1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．
3．命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 ．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
4．命题“对顶角相等”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 ．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行 ．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行”．
题型三 角平分线性质的应用
1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，
故选：C．
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（ ）
A．3 B．2 C．3 D．3+2
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故选：C．
5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC＝180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；
④∠BAC＝2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；
根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；
根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，
①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC＝180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，AP=APPM=PD，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），
∴AD＝AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，
∴CD＝CN，
∴AM+CN＝AD+CD＝AC，
故本小题正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN=12∠ACF＝∠BPC+12∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述，①③④正确．
故选：B．
6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，
故选：B．
7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE=12∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，
故选：D．
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是 3 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC=12×4×2+12AC•2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是 15 ．
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是12×DE×BC=12×10×3＝15，
故答案为：15．
10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是 35 度．
【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．
【解答】解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE＝EB＝EF，
又∵∠B＝90°，且AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB＝∠EAF．
又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CDA＝110°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝70°，
∴∠EAB＝35°．
故答案为：35．
11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为 2.4 cm．
【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝DF，
S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
=12AB•DF+12BC•DE，
=12×12•DE+12×18•DE，
＝15DE，
∵△ABC＝36cm2，
∴15DE＝36，
解得DE＝2.4cm．
故答案为：2.4．
题型四 “燕尾模型”与三角形的外角性质
1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBM=12∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM=12∠ACM，
则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM=12×（∠ACM﹣∠ABC）=12∠A＝30°，
故选：B．
3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+12∠1，∠BOC＝90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
=12（∠ACD﹣∠ABC）
=12∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°-12（∠ABC+∠ACB）
＝180°-12（180°﹣∠1）
＝90°+12∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，
∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 75° ．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，
∴∠α＝30°+45°＝75°．
故答案为：75°．
6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为 150° ．
【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠CEB＝∠A+∠D，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：延长DC交AB于E，
∠CEB是△ADE的一个外角，
∴∠CEB＝∠A+∠D，
同理，∠BCD＝∠CEB+∠B，
∴∠A+∠B+∠D＝∠CEB+∠B＝∠BCD＝150°，
故答案为：150°．
7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝ 125 度，若∠AIB＝155°，则∠C＝ 130 度．
【分析】作出辅助线，构造三角形的外角解答．
【解答】解：连接CI并延长交AB于P．
∵AI平分∠CAP，
∴∠1＝∠2．
∵BI平分∠CBP，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3=12（∠CAB+∠CBA）=12×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠7+∠8＝∠1+∠3+∠5+∠6＝55°+70°＝125°．
∵∠AIB＝155°，
∴∠2+∠4＝180°﹣155°＝25°，
又∵∠CAP、∠CBP的平分线，相交于点I，
∴∠CAP+∠CBP＝2×25°＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°．
8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝ 125 度．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．
【解答】解：在△ABD中，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，
∴∠BHC＝90°+35°＝125°．
9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为 57° ．
【分析】延长CD交AB于F，根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算即可．
【解答】解：延长CD交AB于F，
∵∠BDC是△BFD的一个外角，
∴∠BFD＝∠BDC﹣∠B＝104°﹣30°＝74°，
∵∠BFD是△AFC的一个外角，
∴∠ACF＝∠BFD﹣∠A＝74°﹣40°＝34°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠FCE=12∠ACF＝17°，
∵∠BEC是△AEC的一个外角，
∴∠BEC＝∠ACE+∠A＝17°+40°＝57°，
故答案为：57°．
10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）
=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
=12（180°+∠A）
＝90°+12∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-12∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
=12∠ABC+12∠MBC
=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°-12∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则12∠A＝2（90°-12∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠1+∠2=12(180°-∠A)=90°-12∠A
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°-12∠A）
=90°+12∠A
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论： ∠BOC＝90°-12∠A ．
【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC=12∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠2=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC＝∠2﹣∠1=12∠A+∠1﹣∠1=12∠A；
（2）探究3：∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A+∠ABC），
∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），
＝180°-12∠A-12（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC＝90°-12∠A．
12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【分析】（1）作射线AO，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．
【解答】解：（1）作射线AO，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．
13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CED＝∠AEF＝55°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣55°﹣42°＝83°．
答：∠ACD的度数为83°．
题型五 “拐点模型”与三角形的外角性质
1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
A．24° B．59° C．60° D．69°
【分析】根据三角形外角性质求出∠DBC，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，
∴∠DBC＝∠A+∠C＝59°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠DBC＝59°，
故选：B．
3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 48 度．
【分析】根据平行线的性质得∠BFD＝∠B＝68°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得∠D＝∠BFD﹣∠E，由此即可求∠D．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝68°，
∴∠BFD＝∠B＝68°，
而∠D＝∠BFD﹣∠E＝68°﹣20°＝48°．
故答案为：48．
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