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浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理优秀教案及反思
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这是一份浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理优秀教案及反思，共31页。教案主要包含了勾股定理直接应用，勾股定理与面积，勾股定理证明方法及应用等内容，欢迎下载使用。
1、勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2、勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
题型梳理
题型一 勾股定理直接应用
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（ ）
A．10B．8C．6或10D．8或10
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
3．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
5．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．5+1B．-5+1C．5-1D．5
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
8．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（ ）
A．33B．6C．32D．21
9．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD＝ ．
10．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ ．
11．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．
12．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ ，OPn＝ （n为自然数，且n＞0）
13．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．
题型二 勾股定理与面积
1．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．64
3．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝ ．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
题型三 勾股定理证明方法及应用
1．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12B．15C．20D．30
5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）
A．20B．24C．994D．532
6．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
7．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（ ）
A．40B．44C．84D．88
8．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于 ．
9．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，则GE＝ ．
答案与解析
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（ ）
A．10B．8C．6或10D．8或10
【分析】分两种情况考虑，如图所示，垂足在线段BD上或在线段BD的延长线上两种情况，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=AB2-AD2=8，CD=AC2-AD2=2，
此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；
如图2所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=AB2-AD2=8，CD=AC2-AD2=2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，
则BC的长为6或10．
故选：C．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵AB＝5，AD＝3，
∴BD=AB2-AD2=4，
∴BC＝2BD＝8，
故选：C．
3．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或7 ．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：42-32=7；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：42+32=5；
综上，第三边的长为：5或7．
故答案为：5或7．
4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
5．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．5+1B．-5+1C．5-1D．5
【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为：12+22=5，
∴﹣1到A的距离是5，那么点A所表示的数为：5-1．
故选：C．
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
【解答】解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴12ab＝24．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE=12BC＝4，
∴AE=52-42=3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
8．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（ ）
A．33B．6C．32D．21
【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB′＝90°，根据勾股定理计算．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB＝45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝32，
∴∠CAB′＝90°，
∴B′C=CA2+B'A2=33，
故选：A．
9．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD＝ 3-1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC=2AB＝2，BF＝AF=22AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=AD2-AF2=3
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+3-2=3-1，
故答案为：3-1．
10．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ 6 ．
【分析】设BC＝x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．
【解答】解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；
在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，
若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
故BF＝x﹣4＝6．
故答案为：6．
11．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 42或32 ．
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD=AB2-AD2=152-122=9，
在Rt△ACD中，
CD=AC2-AD2=132-122=5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=AB2-AD2=152-122=9，
在Rt△ACD中，CD=AC2-AD2=132-122=5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
故答案是：42或32．
12．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ 2019 ，OPn＝ n+1 （n为自然数，且n＞0）
【分析】根据题意找出规律，根据规律解答．
【解答】解：由题意得，OP1=2；
OP2=3；
OP3=4，
…
则OP2018=2019，OPn=n+1，
故答案为：2019；n+1．
13．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．
【分析】如图，延长AE交BC于F，构造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），则对应边AE＝FE，AD＝FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得线段AF的长度．
【解答】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE．
∵在△AED与△FEC中，
∠D=∠C∠DAE=∠CFEDE=CE，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，AD＝FC．
∵AD＝5，BC＝10．
∴BF＝5
在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=122+52=13，
∴AE=12AF＝6.5．
题型二 勾股定理与面积
1．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5
【分析】过A点作AF⊥BC于F，连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BF＝4，
∴△ABF中，AF=AB2-BF2=3，
∴12×8×3=12×5×PD+12×5×PE，
12=12×5×（PD+PE）
PD+PE＝4.8．
故选：A．
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．64
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
3．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝ 4 ．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝1，
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为：4．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．
故答案为：49cm2．
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】注意根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解．
【解答】解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．
所以CF＝4，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝x+4．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
题型三 勾股定理证明方法及应用
1．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．
（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
AC=DCAB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴12a2+12b2=12•c•DF-12•c•EF=12•c•（DF﹣EF）=12•c•DE=12c2，
∴a2+b2＝c2．
2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？
【分析】根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列式整理即可得证．
【解答】解：梯形的面积=12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，
所以，a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，
所以，a2+b2＝c2．
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解答】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×12ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12B．15C．20D．30
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，进而得出S2的值．
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）
A．20B．24C．994D．532
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
而长方形面积为x2+7x+12＝12+12＝24
∴该矩形的面积为24，
故选：B．
6．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．
【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D．
7．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（ ）
A．40B．44C．84D．88
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
∴四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝6+8＝14，
∴KL＝6+14＝20，LM＝8+14＝22，
∴矩形KLMJ的周长为2×（20+22）＝84．
故选：C．
8．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于 4 ．
【分析】设BD＝x，正方形ODCE的边长为2，则CD＝CE＝2，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，BF＝BD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设正方形ODCE的边长为2，
则CD＝CE＝2，
设BD＝x，
∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，
∴AF＝AE，BF＝BD，
∴AB＝x+6，AC＝6+2＝8，BC＝x+2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（x+2）2+82＝（x+6）2，
∴x＝4，
故答案为：4．
9．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，则GE＝ 22 ．
【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE＝8，HE＝2，再由正方形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，
在Rt△ADE中，AE=AD2-DE2=102-62=8，
∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GE=2HE＝22，
故答案为：22．
1、勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2、勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
题型梳理
题型一 勾股定理直接应用
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（ ）
A．10B．8C．6或10D．8或10
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
3．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
5．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．5+1B．-5+1C．5-1D．5
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
8．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（ ）
A．33B．6C．32D．21
9．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD＝ ．
10．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ ．
11．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．
12．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ ，OPn＝ （n为自然数，且n＞0）
13．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．
题型二 勾股定理与面积
1．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．64
3．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝ ．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
题型三 勾股定理证明方法及应用
1．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12B．15C．20D．30
5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）
A．20B．24C．994D．532
6．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
7．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（ ）
A．40B．44C．84D．88
8．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于 ．
9．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，则GE＝ ．
答案与解析
1．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（ ）
A．10B．8C．6或10D．8或10
【分析】分两种情况考虑，如图所示，垂足在线段BD上或在线段BD的延长线上两种情况，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=AB2-AD2=8，CD=AC2-AD2=2，
此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；
如图2所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=AB2-AD2=8，CD=AC2-AD2=2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，
则BC的长为6或10．
故选：C．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵AB＝5，AD＝3，
∴BD=AB2-AD2=4，
∴BC＝2BD＝8，
故选：C．
3．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或7 ．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：42-32=7；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：42+32=5；
综上，第三边的长为：5或7．
故答案为：5或7．
4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
5．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．5+1B．-5+1C．5-1D．5
【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为：12+22=5，
∴﹣1到A的距离是5，那么点A所表示的数为：5-1．
故选：C．
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2
【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
【解答】解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴12ab＝24．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE=12BC＝4，
∴AE=52-42=3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
8．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（ ）
A．33B．6C．32D．21
【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB′＝90°，根据勾股定理计算．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=32，∠CAB＝45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，AB′＝AB＝32，
∴∠CAB′＝90°，
∴B′C=CA2+B'A2=33，
故选：A．
9．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD＝ 3-1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC=2AB＝2，BF＝AF=22AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=AD2-AF2=3
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+3-2=3-1，
故答案为：3-1．
10．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ 6 ．
【分析】设BC＝x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．
【解答】解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；
在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，
若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
故BF＝x﹣4＝6．
故答案为：6．
11．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 42或32 ．
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD=AB2-AD2=152-122=9，
在Rt△ACD中，
CD=AC2-AD2=132-122=5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=AB2-AD2=152-122=9，
在Rt△ACD中，CD=AC2-AD2=132-122=5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
故答案是：42或32．
12．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝ 2019 ，OPn＝ n+1 （n为自然数，且n＞0）
【分析】根据题意找出规律，根据规律解答．
【解答】解：由题意得，OP1=2；
OP2=3；
OP3=4，
…
则OP2018=2019，OPn=n+1，
故答案为：2019；n+1．
13．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．
【分析】如图，延长AE交BC于F，构造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），则对应边AE＝FE，AD＝FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得线段AF的长度．
【解答】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE．
∵在△AED与△FEC中，
∠D=∠C∠DAE=∠CFEDE=CE，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，AD＝FC．
∵AD＝5，BC＝10．
∴BF＝5
在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=122+52=13，
∴AE=12AF＝6.5．
题型二 勾股定理与面积
1．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5
【分析】过A点作AF⊥BC于F，连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BF＝4，
∴△ABF中，AF=AB2-BF2=3，
∴12×8×3=12×5×PD+12×5×PE，
12=12×5×（PD+PE）
PD+PE＝4.8．
故选：A．
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．64
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
3．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝ 4 ．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝1，
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为：4．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．
故答案为：49cm2．
5．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】注意根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解．
【解答】解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．
所以CF＝4，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝x+4．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
题型三 勾股定理证明方法及应用
1．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．
（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
AC=DCAB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴12a2+12b2=12•c•DF-12•c•EF=12•c•（DF﹣EF）=12•c•DE=12c2，
∴a2+b2＝c2．
2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗？
【分析】根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列式整理即可得证．
【解答】解：梯形的面积=12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，
所以，a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，
所以，a2+b2＝c2．
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解答】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×12ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（ ）
A．12B．15C．20D．30
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，进而得出S2的值．
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（ ）
A．20B．24C．994D．532
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
而长方形面积为x2+7x+12＝12+12＝24
∴该矩形的面积为24，
故选：B．
6．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．
【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D．
7．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（ ）
A．40B．44C．84D．88
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
∴四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝6+8＝14，
∴KL＝6+14＝20，LM＝8+14＝22，
∴矩形KLMJ的周长为2×（20+22）＝84．
故选：C．
8．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于 4 ．
【分析】设BD＝x，正方形ODCE的边长为2，则CD＝CE＝2，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，BF＝BD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设正方形ODCE的边长为2，
则CD＝CE＝2，
设BD＝x，
∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，
∴AF＝AE，BF＝BD，
∴AB＝x+6，AC＝6+2＝8，BC＝x+2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（x+2）2+82＝（x+6）2，
∴x＝4，
故答案为：4．
9．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，则GE＝ 22 ．
【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE＝8，HE＝2，再由正方形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，
在Rt△ADE中，AE=AD2-DE2=102-62=8，
∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GE=2HE＝22，
故答案为：22．
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