华师大版七年级上册1 角课后测评

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1．（2020·洛阳洛宁期末）如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ D ）
A． B． C． D．
2．（2020·南阳邓州期末）数形结合
（1）如图已知线段AB＝10cm，点N在AB上，NB＝2cm，M是AB的中点，那么线段MN的长为多少？
（2）如图所示，射线OA的方向是北偏东15.8°，射线OB的方向是北偏西40°30'，若∠AOC＝∠AOB，则射线OC的方向是北偏东多少度？
解：（1）∵AB＝10cm，M是AB的中点，
∴MA＝MB＝AB＝5cm，
∵NB＝2cm，
∴MN＝5﹣2＝3cm，
答：线段MN的长度为3cm．
（2）如图，由题意得，∠DOA＝15.8°，∠DOB＝40°30'＝40.5°，
∴∠AOB＝15.8°+40.5°＝56.3°＝∠AOC，
∴∠DOC＝∠DOA+∠AOC＝15.8°+56.3°＝72.1°，
答：射线OC的方向是北偏东72.1度．
2.角的比较和运算
1．（2020·洛阳期末）如图，∠AOB是直角，OD是∠AOB内的一条射线，OE平分∠BOD，若∠BOE＝23°，则∠AOD的度数是（ B ）
A．46° B．44° C．54° D．67°
2．（2020·南阳南召期末）如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（ C ）
A．β B．（α﹣β） C．α D．α﹣β
3．（2020·新乡辉县期末）下列各度数的角，不能通过拼摆一副三角尺直接画出的是（ D ）
A．15° B．75° C．105° D．130°
4．（2020·新乡辉县期末）如图，已知∠AOD是平角，OC是∠BOD的平分线，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ 70° ．
5．（2020·南阳方城期末）已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC＝40°，
∴∠AOB+∠AOC＝90°+40°＝130°，
∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
∴，．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣20°＝45°.
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．
∵＝，
又∠AOB是直角，不改变，
∴．
6．（2020·洛阳洛宁期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．
解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB，
∴∠BOE＝45°.
又∵∠EOF＝60°，
∴∠FOB＝60°﹣45°＝15°.
∵OF平分∠BOC，
∴∠COB＝2×15°＝30°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°.
7．（2020·新乡辉县期末）在平面上，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
解：分两种情况计算：
①如图，当OC落在∠AOB的内部时：
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠AOB＝×80°＝40°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠MON＝∠AOB﹣∠AOM﹣∠BON＝80°﹣40°﹣25°＝15°，
②如图，当OC落在∠AOB的外部时；
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM＝∠AOB＝×80°＝40°，
∠BON＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝40°+25°＝65°，
综上所述，∠MON的度数为15°或65°．
8．（2020·南阳内乡期末）问题情境：以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三角形的直角顶点放在O处（∠COD＝90°）．
（1）如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，则∠MON＝ °；
（2）直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数．
（3）直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度数，并说明理由．
解：（1）∵∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON和OB重合，
∴∠MOC＝∠AOC＝（∠AOB﹣∠COD）＝45°，
∴∠MON＝∠MOC+∠COD＝45°+90°＝135°，
故答案为：135.
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠MOC+∠DON＝∠AOC+∠BOD
＝（∠AOC+∠BOD）
＝（∠AOB﹣∠COD）
＝（180°﹣90°）
＝45°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DON+∠COD＝45°+90°＝135°，
即∠MON的度数是135°.
（3）猜想∠MON的度数是135°.理由是：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠MOC+∠BON＝∠AOC+∠BOD
＝（∠AOC+∠BOD）
＝（∠AOB﹣∠COB+∠BOD）
＝[∠AOB﹣（∠COD﹣∠BOD）+∠BOD]
＝[∠AOB﹣∠COD+∠BOD+∠BOD]
＝[180°﹣90°+∠BOD+∠BOD]
＝45°+∠BOD
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠COB
＝45°+∠BOD+∠COB
＝45°+∠COD
＝135°.
即∠MON的度数是135°．
9．（2020·南阳唐河期末）如图1，B是线段AD上一动点，沿A→D→A的路线以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B的运动时间为ts（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，则线段AB＝ cm，线段CD＝ cm．
（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．
（3）在运动过程中，若AB的中点为E，问EC的长是否变化？与点B的位置是否无关？
（4）知识迁移：如图2，已知∠AOD＝120°，过角的内部任一点B画射线OB，若OE、OC分别平分∠AOB和∠BOD，问∠EOC的度数是否变化？与射线OB的位置是否无关？
解：（1）AB＝2t＝2×2＝4，
BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6，
∵C是线段BD的中点，
∴CD＝BC＝BD＝×6＝3，
故答案为：4，3.
（2）①当 0≤t≤5时，此时点B从A向D移动：
AB＝2t；
②当5＜t≤10时，此时点B从D向A移动：
AB＝20﹣2t；
（3）EC的长不变．与点B的位置无关．
∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
∴EB＝AB，BC＝BD．
∴EC＝EB+BC＝AB+BD＝（AD+BD）＝AD
∵AD＝10 cm，
∴EC＝5cm，与点B的位置无关．
（4）∠EOC的度数不变，与射线OB的位置无关．
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠EOB+∠BOC
＝（∠AOB+∠BOD）
＝∠AOD.
∵∠AOD＝120°
∴∠EOC＝60°，与OB位置无关．
10．（2020·新乡卫辉期末）（1）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
（2）如果（1）中∠AOB＝x°，其他条件不变，求∠MON的度数．
（3）如果（1）中∠BOC＝y°（0＜y＜90°）其他条件不变，则∠MON的度数为 45° ．（直接写出结果）
（4）从（1）、（2）、（3）的结果能看出的规律是：∠MON与∠AOB有什么关系，与哪个角的大小无关？
解：（1）∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC＝×120°＝60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠CON＝∠BOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°.
（2）∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOC﹣∠BOC）＝∠AOB＝x°.
（3）∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOC﹣∠BOC）＝∠AOB＝×90°＝45°，
故答案为：45°；
（4）由（1）、（2）、（3）的结果可得：∠MON＝∠AOB，与∠BOC的大小无关．
3.余角和补角
1．（2020·南阳邓州期末）如图，直线m、n相交于一点，∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3理由是（ D ）
A．如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余
B．同角（等角）的余角相等
C．如果两个角的和等于180°，那么这两个角互补
D．同角（等角）的补角相等
2．（2020·新乡卫辉期末）下列说法中，正确的个数是（ A ）
①两点之间，直线最短．
②三条直线两两相交，最少有三个交点．
③射线CD和射线DC是同一条射线．
④同角（或等角）的补角相等．
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
⑥绝对值等于它本身的数是非负数．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2020·南阳南召期末）若锐角α＝18.5°，那么锐角α的余角的补角为 108.5° ．
4．（2020·新乡辉县期末）已知∠α的补角等于138°12′43″，则∠α的余角等于 48°12'43'' ．
5．（2020·洛阳洛宁期末）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，则∠BOC的度数为（ D ）
A．30° B．45° C．50° D．40°
6．（2020·南阳郑州期末）如图，直线m、n相交于一点，∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3理由是（ D ）
A．如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余
B．同角（等角）的余角相等
C．如果两个角的和等于180°，那么这两个角互补
D．同角（等角）的补角相等
7．（2020·驻马店上蔡期末）若∠B的余角为57.12°，则∠B＝ 32 ° 52 ′ 48 ″．
8．（2020·洛阳孟津期末）43°32′的余角是 46°28′ ．
9．（2020·洛阳洛宁期末）已知∠1＝71°30′，则∠1的补角等于 108.5 度．
10．（2020·洛阳期末）如果一个锐角α的余角为36°，那么这个锐角α的补角为 126° ．
11．（2020·洛阳孟津期末）如图，将一副直角三角板如图放置，若∠AOD＝18°，则∠BOC的度数为 162° ．
12．（2020·洛阳洛宁期末）一个角的补角比它的余角的2倍大20°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数是x，则它的补角为：180°﹣x，余角为90°﹣x.
由题意，得（180°﹣x）﹣2（90°﹣x）＝20°．
解得x＝20°．
答：这个角的度数是20°．
13．（2020·洛阳洛宁期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，且∠BON＝55°，求∠BOD的度数．
解：∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°.
∵∠BON＝55°，
∴∠AOM＝180°﹣90°﹣55°＝35°.
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝S2∠AOM＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°．
14．（2020·南阳南召期末）已知：O为直线AB上的一点，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方向（即AB⊥MN），射线OC，射线OE的方向如各图所示．
（1）如图1所示，当∠COE＝90°时：
①若∠AOE＝20°，则射线OE的方向是 ．
②∠AOE与∠CON的关系为 ．
③∠AOC与∠EON的关系为 ．
（2）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图2的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°．
①若∠AOF＝24°，则∠EOF＝ 度．
②若∠AOF＝β，则∠CON＝ （用含β的代数式表示）．
（3）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°，则∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图1①由方位角的表示方法得，射线OE的方向是北偏东20°，故答案为：北偏东20°；
②∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠EON＝90°，
∴∠AOE＝∠CON；
故答案为：∠AOE＝∠CON；
③∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠BOC，
∴∠EON＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC+∠EON＝180°，
故答案为：∠AOC+∠EON＝180°.
（2）如图2，①∵∠COE＝90°．
∴∠AOC+∠AOE＝90°＝∠AOE+∠EOM，
∴∠AOC＝∠EOM，
∵OF恰好平分∠COM，
∴∠MOF＝∠OCF，即：∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝24°.
故答案为：24°.
②∵∠CON+∠AOC＝90°＝∠AOC+∠AOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵∠EOF＝∠AOF＝β，
∴∠CON＝2∠AOF＝2β.
故答案为：2β．
（3）如图3，由同角的余角相等可得∠COM＝∠BOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵OF平分∠COM，
∴∠COF＝∠MOF，
∴∠CON＝∠AOE＝2∠COF+2∠AOC＝2∠AOF，
∴∠CON＝2∠AOF．