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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集完美版课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集完美版课件ppt，文件包含223《一元二次不等式的解法》课件PPTpptx、223《一元二次不等式的解法》教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共46页， 欢迎下载使用。
1.理解一元二次不等式的定义.(数学抽象)2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.(数学运算)3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.(逻辑推理,数学运算)
1.了解一元二次不等式的概念． 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．3．掌握一元二次不等式的解法及有关问题．
城市人口急剧增加使车辆日益增多,需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的联结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通运输部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位:m)的积,且车距不得少于半个车身,假定车身长均为l(单位:m),当车速为60(单位:km/h)时,车距为1.44个车身长,在交通繁忙时,应规定怎样的车速,才使此处的车流量最大?
知识点一 一元二次不等式的概念 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0). (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0). (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0). (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).
名师点析 1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化二次项系数大于0,注意不等号改变方向,这样只需要研究二次项系数大于0时.2.一元二次不等式一定为整式不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念:(1)两个不等式的解集相同,称这两个不等式为同解不等式;(2)将一个不等式转化为它的同解不等式称为不等式同解变形.
知识点二、一元二次不等式的解法1.因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x10的解集是 .2.配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2
名师点析 1.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解.
名师点析 2.含有参数的不等式的解法解含有参数的一元二次型不等式应注意以下几点:(1)要以二次项系数与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零,不等式右边为零)后,再以判别式与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;
(3)如果判别式大于零,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大小关系作为分类标准进行分类讨论.我们在解决以上问题时,最优的处理次序应先看二次项系数的正负,其次考虑Δ,最后分析两根的大小.注意以下问题:①对参数分类时要目标明确,讨论时要不重不漏.②最后结果要分类回答,切不可取并集,解集为⌀时,也是其中一类,不要随便丢掉.③弄清分类原因,能更好地、合理地对参数分类.④并不是所有含参数的问题都需要分类讨论.
3.不等式2+x-x2<0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析 不等式可变形为x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.
4. 解不等式:7+6x-x2≥0.
解 由7+6x-x2≥0,得x2-6x-7≤0,即x2-6x≤7,配方,得x2-6x+9≤16,即(x-3)2≤16,两边开平方,得|x-3|≤4,从而可知-4≤x-3≤4,即-1≤x≤7.所以原不等式的解集为[-1,7].
知识点三 分式不等式的解法1.分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.2.分式不等式的解法解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.化分式不等式为标准型（右边化为0）,再将分式不等式转化为整式不等式的同解变形
①x2+x+1<0,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+1>0,④mx2-5x+1>0,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c>0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是 .(填写正确序号)
题型一 一元二次不等式的概念
解析 ①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥.
反思感悟 1.形如ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式,叫做一元二次不等式,不等号也可以是“<”“≥”“≤”.2.“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,哪一个是变量,是“未知数”,哪一些是“参数”就可以.3.“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制.
判断下列不等式哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数),并说明理由.(1)x2>0; (2)-x-x2≤5; (3)ax2>2; (4)x3+5x-6>0; (5)mx2-5y<0; (6)ax2+bx+c>0.
解 (1)(2)是,(1)(2)符合一元二次不等式的概念.(3)不是,因为当a=0时,不等式化为0>2,不符合一元二次不等式的概念.(4)不是,因为x的最高次数为3,不符合一元二次不等式的概念.(5)不是,因为当m=0时,它为一元一次不等式;当m≠0时,它含有两个未知数.(6)不是,因为当a=0时,不等式化为bx+c>0,不符合一元二次不等式的概念.
解下列不等式:(1)-2x2-x+6≥0;(2)x2+x+1>0;(3)(3x-1)(x+1)>4.
分析(1)(3)利用因式分解法求解;(2)用配方法解不等式即可.
反思感悟 一元二次不等式的解题策略1.因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式.2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2
【解】 (2)原不等式可化为 x2－6x＋10<0， ∵Δ＝62－40＝－4<0， ∴原不等式的解集为∅.
【解】 (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2) D.(-1,2)
解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
分析:这是一个含有参数的一元二次不等式,首先考虑因式分解,分解之后可知方程的根是a,a2,需要对两根进行大小比较,所以要进行讨论.
解:将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形为(x-a)·(x-a2)>0.当a<0或a>1时,有aa2};当0a2,解集为{x|xa};当a=0时,解集为{x|x≠0};当a=1时,解集为{x|x≠1}.
反思：解含参数的一元二次不等式一般都需要对参数进行分类讨论,在分类讨论时,一般要注意以下三个方面:(1)对二次项系数是否为0,是正数还是负数进行讨论,以便确定解集的形式;(2)对判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0进行讨论,以便确定一元二次方程根的个数;(3)对相应一元二次方程根的大小进行讨论,以确定出解集.
解不等式:x2+(2-a)x-2a≥0.
解 由x2+(2-a)x-2a≥0得,(x+2)(x-a)≥0,①当a=-2时,不等式的解集是R;②当a>-2时,不等式的解集是(-∞,-2]∪[a,+∞);③当a<-2时,不等式的解集是(-∞,a]∪[-2,+∞).
若关于x的不等式px2+qx+2>0的解集为{x|-1
解:∵不等式px2+qx+2>0的解集为(-1,2),∴方程px2+qx+2=0的两根是x1=-1,x2=2,且p<0.
反思在本题中,已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.这类问题也可以用下面的方法来解:(1)先作出一个解集符合要求的不等式;(2)根据不等式同解的要求,确定其系数的数值.利用此法确定不等式系数时,必须注意:①将两不等式化为同向不等式;②同向二次不等式的二次项系数同号,否则就会产生错误.
已知关于x的方程x2+2mx-m+12=0的两个实根都大于2,求实数m的取值范围.
解:设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1,x2.
求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a≠0),则
当未说明不等式为一元二次不等式时,有
2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.
例6:若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
方法点睛 不等式在某区间上恒成立问题设y=ax2+bx+c(a≠0).(1)a>0时,y<0在区间[α,β]上恒成立⇔二次函数在区间两个端点处的函数值均小于零;(2)a<0时,y>0在区间[α,β]上恒成立⇔二次函数在区间两个端点处的函数值均大于零;(3)y>0在区间[α,β]上恒成立⇔[α,β]⊆A,其中A是y>0的解集.
练习5:已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.
解 (1)易知-2和0是y=0的两个根,可得∴y=3x2+6x.(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而x∈[-2,2]时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21, ∴m≤-21,实数m的最大值为-21.
1.理解一元二次不等式的定义.(数学抽象)2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.(数学运算)3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.(逻辑推理,数学运算)
1.了解一元二次不等式的概念． 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．3．掌握一元二次不等式的解法及有关问题．
城市人口急剧增加使车辆日益增多,需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的联结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通运输部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位:m)的积,且车距不得少于半个车身,假定车身长均为l(单位:m),当车速为60(单位:km/h)时,车距为1.44个车身长,在交通繁忙时,应规定怎样的车速,才使此处的车流量最大?
知识点一 一元二次不等式的概念 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0). (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0). (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0). (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).
名师点析 1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化二次项系数大于0,注意不等号改变方向,这样只需要研究二次项系数大于0时.2.一元二次不等式一定为整式不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念:(1)两个不等式的解集相同,称这两个不等式为同解不等式;(2)将一个不等式转化为它的同解不等式称为不等式同解变形.
知识点二、一元二次不等式的解法1.因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1
名师点析 1.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解.
名师点析 2.含有参数的不等式的解法解含有参数的一元二次型不等式应注意以下几点:(1)要以二次项系数与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零,不等式右边为零)后,再以判别式与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;
(3)如果判别式大于零,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大小关系作为分类标准进行分类讨论.我们在解决以上问题时,最优的处理次序应先看二次项系数的正负,其次考虑Δ,最后分析两根的大小.注意以下问题:①对参数分类时要目标明确,讨论时要不重不漏.②最后结果要分类回答,切不可取并集,解集为⌀时,也是其中一类,不要随便丢掉.③弄清分类原因,能更好地、合理地对参数分类.④并不是所有含参数的问题都需要分类讨论.
3.不等式2+x-x2<0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析 不等式可变形为x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.
4. 解不等式:7+6x-x2≥0.
解 由7+6x-x2≥0,得x2-6x-7≤0,即x2-6x≤7,配方,得x2-6x+9≤16,即(x-3)2≤16,两边开平方,得|x-3|≤4,从而可知-4≤x-3≤4,即-1≤x≤7.所以原不等式的解集为[-1,7].
知识点三 分式不等式的解法1.分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.2.分式不等式的解法解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.化分式不等式为标准型（右边化为0）,再将分式不等式转化为整式不等式的同解变形
①x2+x+1<0,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+1>0,④mx2-5x+1>0,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c>0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是 .(填写正确序号)
题型一 一元二次不等式的概念
解析 ①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥.
反思感悟 1.形如ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式,叫做一元二次不等式,不等号也可以是“<”“≥”“≤”.2.“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,哪一个是变量,是“未知数”,哪一些是“参数”就可以.3.“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制.
判断下列不等式哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数),并说明理由.(1)x2>0; (2)-x-x2≤5; (3)ax2>2; (4)x3+5x-6>0; (5)mx2-5y<0; (6)ax2+bx+c>0.
解 (1)(2)是,(1)(2)符合一元二次不等式的概念.(3)不是,因为当a=0时,不等式化为0>2,不符合一元二次不等式的概念.(4)不是,因为x的最高次数为3,不符合一元二次不等式的概念.(5)不是,因为当m=0时,它为一元一次不等式;当m≠0时,它含有两个未知数.(6)不是,因为当a=0时,不等式化为bx+c>0,不符合一元二次不等式的概念.
解下列不等式:(1)-2x2-x+6≥0;(2)x2+x+1>0;(3)(3x-1)(x+1)>4.
分析(1)(3)利用因式分解法求解;(2)用配方法解不等式即可.
反思感悟 一元二次不等式的解题策略1.因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式.2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2
【解】 (2)原不等式可化为 x2－6x＋10<0， ∵Δ＝62－40＝－4<0， ∴原不等式的解集为∅.
【解】 (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2) D.(-1,2)
解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
分析:这是一个含有参数的一元二次不等式,首先考虑因式分解,分解之后可知方程的根是a,a2,需要对两根进行大小比较,所以要进行讨论.
解:将不等式x2-(a+a2)x+a3>0变形为(x-a)·(x-a2)>0.当a<0或a>1时,有a
反思：解含参数的一元二次不等式一般都需要对参数进行分类讨论,在分类讨论时,一般要注意以下三个方面:(1)对二次项系数是否为0,是正数还是负数进行讨论,以便确定解集的形式;(2)对判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0进行讨论,以便确定一元二次方程根的个数;(3)对相应一元二次方程根的大小进行讨论,以确定出解集.
解不等式:x2+(2-a)x-2a≥0.
解 由x2+(2-a)x-2a≥0得,(x+2)(x-a)≥0,①当a=-2时,不等式的解集是R;②当a>-2时,不等式的解集是(-∞,-2]∪[a,+∞);③当a<-2时,不等式的解集是(-∞,a]∪[-2,+∞).
若关于x的不等式px2+qx+2>0的解集为{x|-1
解:∵不等式px2+qx+2>0的解集为(-1,2),∴方程px2+qx+2=0的两根是x1=-1,x2=2,且p<0.
反思在本题中,已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.这类问题也可以用下面的方法来解:(1)先作出一个解集符合要求的不等式;(2)根据不等式同解的要求,确定其系数的数值.利用此法确定不等式系数时,必须注意:①将两不等式化为同向不等式;②同向二次不等式的二次项系数同号,否则就会产生错误.
已知关于x的方程x2+2mx-m+12=0的两个实根都大于2,求实数m的取值范围.
解:设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1,x2.
求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a≠0),则
当未说明不等式为一元二次不等式时,有
2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.
例6:若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
方法点睛 不等式在某区间上恒成立问题设y=ax2+bx+c(a≠0).(1)a>0时,y<0在区间[α,β]上恒成立⇔二次函数在区间两个端点处的函数值均小于零;(2)a<0时,y>0在区间[α,β]上恒成立⇔二次函数在区间两个端点处的函数值均大于零;(3)y>0在区间[α,β]上恒成立⇔[α,β]⊆A,其中A是y>0的解集.
练习5:已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.
解 (1)易知-2和0是y=0的两个根,可得∴y=3x2+6x.(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而x∈[-2,2]时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21, ∴m≤-21,实数m的最大值为-21.
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