2022届内蒙古包钢第一中学高三一模数学（文）试题含解析

2022届内蒙古包钢第一中学高三一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数满足，则的虚部为（       ）

A．4 B．-4 C．3 D．-3

【答案】A

【分析】根据复数的乘方得到，再根据复数代数形式的除法运算求出复数，即可得到，从而得到的虚部；

【详解】解：因为，，，所以，

因为，所以，，于是所以的虚部为4.

故选：A.

2．已知集合，，若，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对分两种情况讨论，化简集合，解一元二次不等式化简集合，再根据交集的结果，即可得到答案；

【详解】，

当时，，，不成立；

当时，，，

，，

故选：C.

3．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.

【详解】因为与共线，所以，，

所以，

因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，

故选：C．

4．人类已进入大数据时代，目前，全球年数据产生量已经从级别跃升到，乃至级别（，，，）．由国际数据公司的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量和实际的函数模型是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据散点图及幂函数、指数函数、对数函数的图象特征即可求解.

【详解】解：由散点图知：全球年数据产生量随年份的增加而增加，且增加的速度越来越快，

因为的图象是一条直线，

的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓，

的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓，

的图象，随x增大，y增大，图象越来越陡峭，

所以D选项正确，A、B、C选项错误.

故选：D．

5．习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为 （其中是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（参考数据： ）（       ）

A．9 B．11 C．13 D．15

【答案】B

【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再解不等式即可.

【详解】前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则，则，

由题意知： ，

可得，

，

即，，即还需要过滤11小时.

故选：B.

6．已知双曲线在第一象限上存在一点，与中心、右焦点构成一个正三角形，则双曲线的离心率（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由等边三角形的性质得出，将点代入双曲线方程，结合以及离心率公式得出双曲线的离心率.

【详解】因为，所以

由得出，即

解得或（舍）

即

故选：D

7．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.

【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，

由题意得：，，，

由全概率公式，得：，

因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.

故选：B.

8．如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答.

【详解】在中，， ，则，

因，则，

在中，由余弦定理得：，即，

在中，由正弦定理得：，

所以.

故选：D

9．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角恒等变换得，进而得，再结合题意得，再解方程即可得答案.

【详解】解：，

所以，

因为的图象关于点对称

依题意得解得，

∵，∴的最小值为.

故选：A.

10．已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．8

【答案】C

【分析】利用切线性质，构造的长度关于的函数关系，再求函数的最小值即可.

【详解】圆的方程：，

可知，，，，

故四边形的面积，

，

当取最小值时最小，

设，则，

当时，取最小值为，

的最小值为．

故选：．

11．已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】寻找满足条件的球心与半径，通过解直角三角形求解．

【详解】如图，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形内切圆，

与正三棱柱的所有棱都相切的球必过△的外接圆和上下底面内切圆，

取上下底面内切圆心、，连接，取中点，为△的外心，

以为球心，以为半径的球，此球即为与正三棱柱所有棱都相切的球，

∴，，，

在直角△OMN中，由得，，，

∴球的半径，

∴球的体积.

故选：B.

12．若函数的图象关于点对称，且对任意的，都有，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用对称性可得，解出，将不等式分离参数得，将作等价变形得，构造函数，通过导数求得（需先证）进而得解.

【详解】由题意，

即，

，所以，

因为，

所以，

因为，所以，

考虑函数，所以，

所以函数在上单调递增，所以，

所以当时，，注意到，

考虑函数，所以，

所以当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，当且仅当时可取等号，

所以，

所以，当且仅当时可取等号，所以，

故选：A.

二、填空题

13．设命题，，若为假命题，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】为假命题，为真命题，将问题转化为，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】由题得，为真命题，所以，

又函数在上单调递减，所以当时，.

故只需.

故答案为：

14．数列的前n项和为，，，则＝__．

【答案】

【分析】由，结合已知条件及等比数列前n项和公式求值.

【详解】由题设知：==.

故答案为：.

15．设函数，若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为____________．

【答案】

【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得，化简，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.

【详解】解：由题意，当时，满足，

所以在与上的图象关于对称，作出图象，如图所示，

因为，可得且，

所以，所以，

所以，

又由，令，则原式化为，

因为其对称轴为，开口向上，

所以在上单调递增，可得，

所以的取值范围是.

故答案为: ．   

16．已知实数满足，，，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】设，为坐标原点，则，由题意两点在圆上，且三角形为等边三角形，，由的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，根据，且即可得答案.

【详解】解：设，为坐标原点，则，

由，

可得两点在圆上，且，则，

所以三角形为等边三角形，，

的几何意义为两点到直线的距离与之和，

记线段的中点分别是，到直线的距离为，

则有，且，

所以，

所以的最大值为，

故答案为：.

三、解答题

17．若等比数列的各项为正，前项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设公比为，则由已知可得，求出公比，再求出首项，从而可求出数列的通项公式；

（2）由已知可得，而，所以，然后利用错位相减法可求得结果

【详解】(1)设各项为正的等比数列的公比为，，，

则，，，

即，

解得或（舍去），

所以，

所以数列的通项公式为.

(2)因为是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.

由（1）知，所以.

所以①

在①的等式两边同乘以，得

②

由①②等式两边相减，得，

所以数列的前项和.

18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；

（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．

【详解】（1）因为底面，平面，

所以，

又，，

所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）[方法一]：相似三角形法

 由（1）可知．

于是，故．

因为，所以，即．

故四棱锥的体积．

[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法

     由（2）知,所以．

建立如图所示的平面直角坐标系，设．

因为，所以，，，．

从而．

所以，即．下同方法一.

 [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法

   建立如图所示的空间直角坐标系，

设，所以，，，，．

所以，，．

所以．

所以，即．下同方法一.

 [方法四]：空间向量法

     由，得．

所以．

即．

又底面，在平面内，

因此，所以．

所以，

由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，

得，即．

所以，即．下同方法一.

【整体点评】

(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；

方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.

19．某城市一入城交通路段限速50公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在40~50公里/小时之间的车辆有150辆.

(1)求n的值；

(2)估计这n辆小汽车车速的中位数；

(3)根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，估计某辆小汽车在该路段被罚款的概率.

【答案】(1)；

(2)46；

(3).

【分析】（1）解方程即得解；

（2）设这辆小汽车车速的中位数为，解方程即得解.

（3）这500辆小车中，有辆小车超速以上，即可可以估计某辆小汽车在该路段被罚款的概率.

【详解】(1)解：由直方图可知，车速在公里/小时之间的频率为，

所以，得.

(2)解：设这辆小汽车车速的中位数为，

则，解得，

所以可以估计这辆小汽车车速的中位数为46.

(3)解：由交通法规可知，小车速度在55公里/小时以上需要罚款，

由直方图可知，小车速度在公里/小时之间的有辆，

由统计的有关知识，可以认为车速在公里/小时之间的小车有70辆.

又小车速度在公里/小时之间的有辆，

所以这500辆小车中，有辆小车超速以上，

故可以估计某辆小汽车在该路段被罚款的概率为.

20．已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率为，P为椭圆C上一动点，面积的最大值为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】(1)设出椭圆C的半焦距，根据离心率及三角形面积列出方程组求解即得.

(2)当直线l斜率存在时，设出直线l的方程，再与椭圆C的方程联立，设出点Q坐标，

借助韦达定理计算探讨即可得解，然后讨论直线l斜率不存在的情况作答.

【详解】(1)设椭圆C的半焦距为c，因离心率为，则，由椭圆性质知，椭圆短轴的端点到直线的距离最大，

则有，于是得，又，联立解得，

所以椭圆C的方程为：.

(2)由(1)知，点，

当直线斜率存在时，不妨设，，，

由消去y并整理得，，，，

假定在x轴上存在定点Q满足条件，设点，

则

，

当，即时，，

当直线l斜率不存在时，直线l：与椭圆C交于点A，B，由对称性不妨令，

当点坐标为时，，，

所以存在定点，使得为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；

(3)是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由.

【答案】(1)的单调递增区间为；单调递减区间为

(2)2

(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出函数的单调区间；

（2）不等式恒成立，即恒成立，，分和求出函数的最小值即可得出答案；

（3）令，假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，可得曲线在两切点处的切线方程，再根据题意列出方程组，整理从而可得出结论.

【详解】(1)解：当时，函数的定义域为，

则，令，得，

由，得；由，得，

所以的单调递增区间为；单调递减区间为；

(2)解：由，得，

令，，

①当时，，所以在区间单调递减，

因为，所以恒成立矛盾，

②当时，由，得；由，得，

所以的单调递增区间为；单调递减区间为，

所以，

令，

因为函数和函数在区间单调递增，

所以函数在区间单调递增，，，

综上，使不等式恒成立的整数a的最小值为2；

(3)解：令，

假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，

不妨，则处切线的方程为：，

处切线的方程为：，

因为，为同一直线，

所以，

即，

整理得，，消去得，，①

令，由与，得，

记，则，

所以为上的单调减函数，所以，

从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值，还考查了不等式恒成立问题及导数的几何意义，考查了分类讨论思想和计算能力，难度较大.

22．在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆的极坐标方程；

(2)椭圆，射线与圆的交点为O，P，与椭圆的交点为Q，求线段的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得的普通方程，再转化为极坐标方程.

（2）求得的极坐标方差，代入，求得对应的，由此求得的长.

【详解】(1)由得

则，

即，

将代入并化简得.

(2)设，

将化为极坐标方程为

代入，解得

把代入，得

∴.

23．（1）求不等式的解集；

（2）已知，，，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）三段法求解绝对值不等式；

（2）变形后利用基本不等式进行求解.

【详解】（1）当时，，此时，解得或，此时；

当时，，此时，解得或，此时；

当时，，此时，解得，

此时.

综上：原不等式的解集为；

（2）因为，所以，

又因为，，，

所以

，

当且仅当时等号成立，的最小值为