2023届贵州省贵阳市高三上学期开学联合考试数学（理）试题含解析

2023届贵州省贵阳市高三上学期开学联合考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，且， 其中为实数， 则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的概念确定共轭复数，然后利用复数相等的思想确定实部与虚部关系，即可得的值.

【详解】解：因为，所以，则由得：

，即，

故，解得：.

故选：A.

2．设集合 ， 则 （       ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】先解不等式求出集合B，再求出两集合的并集，然后求其补集.

【详解】由，得，解得，

所以，

因为，

所以，

所以或，

故选：D

3．目前， 全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．某校高三年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、政治”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200，320，280． 现采用分层抽样的方法从上述学生中选出 40 位学生进行调查， 则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是（       ）

A．6 B．10 C．14 D．16

【答案】B

【分析】先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数即可.

【详解】解：因为，

所以选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数为：（人）.

故选：B.

4．已知 ， 则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性，即得.

【详解】由题，，，，

所以.

故选：C.

5．已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数平移关系求出，再由的对称性，即得.

【详解】由题可知图象关于原点对称，

所以，因为，

所以．

故选：C.

6．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（       ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，

【详解】由题可得，因为，

所以，，

所以为坐标原点)的面积是.

故选：A.

7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】D

【分析】设设圆柱的半径为，，根据圆锥与圆柱的体积公式求解即可.

【详解】解：设圆柱的半径为，，则，，

则该陀螺下半部分的圆柱的体积为，

上半部分的圆锥的体积为，

所以该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是.

故选:D.

8．已知 ， 则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出的值，再根据诱导公式可求出答案.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：B．

9．已知函数的最小值为， 则 （       ）

A． B． C．e D．

【答案】D

【分析】求出导函数，求出函数的最小值，列方程即得.

【详解】由，得，

当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，

当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

时，函数有最小值，

解得.

故选：D.

10．已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（       ）

A．16 B． C．64 D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理及诱导公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.

【详解】∵，

∴，

即，

又，，

∴，即，又，

∴，

由题可知，，

所以，即，

又，即，

当且仅当取等号，

所以.

故选：B.

11．已知函数 若关于的不等式恒成立， 则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，由题可知直线要在函数的图象的下面，利用数形结合即得.

【详解】∵，

设，则恒成立，

作出函数与的大致图象，

由可知过定点，则过的直线要在函数的图象的下面，

由图象可知当与相切与点时为一个临界值，

把代入，可得，

由，可得或(舍去)，

当过的直线经过时为另一个临界值，此时，

所以.

故选：C.

12．在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用坐标法，利用条件可得点的轨迹方程，再利用圆的性质即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则，

设，则，

∴，

，

∴，

∴，

故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆，

由圆的性质可得.

故选：A.

二、填空题

13．已知向量，，若， 则_____．

【答案】

【分析】根据向量数量积的运算法则，结合向量模的计算公式，直接计算，即可得出结果.

【详解】因为，，所以，

又，所以，则，

所以，解得.

故答案为：

14．展开式中的常数项是_____． (用数字作答)

【答案】

【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得结果.

【详解】，

令，得，

故展开式中的常数项为．

故答案为：.

15．甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念， 则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是_____．

【答案】0.2

【分析】利用排列知识可得甲不站两端且乙和丙相邻结果数，再利用古典概型概率公式即得.

【详解】甲、乙、丙等五人在某景点站成一排共有种结果，

把乙和丙捆绑在一起看作一个元素与甲之外的两个元素排列，又甲不站两端，把甲插入此三个元素形成的空中，故共有种结果，

所以甲不站两端且乙和丙相邻的概率是.

故答案为：.

16．已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____．

【答案】

【分析】设双曲线的右焦点为，求出双曲线的，，，以及焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线，可得最小值为，解得，再由离心率公式，计算即可得到所求值．

【详解】解：设双曲线的右焦点为，

双曲线的，

则，

可得，，

由双曲线的定义可得，

可得，

则，

当，，共线时，取得等号．

，则

整理得：

解得或，由于，则，故不符合

所以，

则双曲线的离心率为．

故答案为：．

三、解答题

17．在数列中， ．

(1)求的通项公式；

(2)若， 求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用与的关系即得；

（2）利用裂项相消法即得.

【详解】(1)因为 ，

所以当时，，

所以，

所以，

当 时，满足上式，

所以；

(2)因为，

则，

从而，

故 ．

18．某校举办传统文化知识竞赛， 从该校参赛学生中随机抽取 100 名学生， 根据他们的竞赛成绩(满分： 100 分)， 按分成五组， 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该校学生成绩的中位数；

(2)已知样本中竞赛成绩在的女生有3人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为，求的分布列及期望．

【答案】(1)75；

(2)分布列见解析；期望为1

【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，以及中位数公式，即可求解；

（2）由题意可推得，的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解．

【详解】(1)解：因为 ，

所以中位数在[70，80)内．

设中位数为， 则 ， 解得=75．

(2)解： 由题意可知的所有可能取值为．

，

，

．

则的分布列为：

故 ．

19．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形， 分别是棱的中点．

(1)证明：平面平面．

(2)若， 求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 连接BD,由题意证明平面，再证明是平行四边形， 得出 ∥即可证明平面，进而得平面平面．

(2)建立坐标系，求出两平面的法向量即可求得两平面所成角的余弦.

【详解】(1)证明 ： 连接BD．

因为四边形是菱形， 所以 ．

由直四棱柱的定义可知平面， 则．

因为平面平面， 且 ，

所以平面．

由直四棱柱的定义可知 ∥ ,．

因为分别是棱 的中点， 所以∥，

所以四边形 是平行四边形， 则 ∥．

故平面．

又因为平面，

所以平面平面．

(2)解： 记， 以为原点， 分别以的方向为轴的正方向，过垂直平面向上的向量的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则 ，

故．

设平面的法向量为 ，

则，令 ， 得 ；

设平面的法向量为

则，令，得

设二面角为， 由图可知为锐角，

则.

所以二面角的余弦值为：.

20．已知椭圆的离心率是，点在椭圆 上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点， 求为坐标原点)面积的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据离心率和椭圆所过的点列方程组求解；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理法可得面积表达式，然后利用基本不等式求最值．

【详解】(1)由题意可得 ，解得，

故椭圆C的标准方程为；

(2)由题意可知直线的斜率存在，

设直线 ，

联立 ，整理得 ，

，

所以， 即 或，

则 ，

故 ，

点到直线的距离，

则的面积，

设，则 ，

故 ， 当且仅当时，等号成立，

即面积的最大值为．

21．已知函数．

(1)求的最小值；

(2)证明： ．

【答案】(1)0

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；

（2）依题意即证，设，利用导数说明，即可得证．

【详解】(1)解：由题意可得 ，

则函数在上单调递增，且．

由，得；由，得．

则在上单调递减， 在上单调递增，

故．

(2)证明：要证 ， 即证 ．

由（1）可知当时， 恒成立．

设， 则．

由， 得； 由 ，得．

则在上单调递增， 在上单调递减，

从而， 当且仅当时， 等号成立．

故， 即．

22．在平面直角坐标系中， 曲线的参数方程为(为参数)， 以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线交于两点，点，求的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1)由参数方程与直角坐标方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化的方法化简即可；

(2)将直线方程化成参数形式，再代入曲线的方程中，由韦达定理可得的值，再根据计算即可.

【详解】(1)解： 由 (为参数)， 得，

故曲线的普通方程为．

由， 得，

故直线的直角坐标方程为

(2)解：由题意可知直线的参数方程为 (参数)．

将直线的参数方程代人曲线的普通方程并整理得，

设对应的参数分别是 ，

则 ，

故 ．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）讨论，两种情况，分别求解，即可得出结果；

（2）由绝对值三角不等式得到的最小值，再解不等式，即可得出结果.

【详解】(1)当时，原不等式可化为，解得，所以；

当时，原不等式可化为，解得，所以，

综上，原不等式的解集为；

(2)（2）由恒成立，可得恒成立，

因为，

所以， 解得 或．

即的取值范围是 ．