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    2021-2022学年北京师范大学第二附属中学高二下学期6月月考数学试题含解析

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    这是一份2021-2022学年北京师范大学第二附属中学高二下学期6月月考数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年北京师范大学第二附属中学高二下学期6月月考数学试题

    一、单选题

    1.数列的一个通项公式是(       

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】分别代入四个选项检验,利用排除法即可得正确选项.

    【详解】对于A,不符合题意,故选项A不正确;

    对于B,不符合题意,故选项B不正确;

    对于D,不符合题意,故选项D不正确;

    对于C, 符合题意,故选项C正确;

    故选:C.

    2.有3张奖券,其中2张可中奖,现3个人按顺序依次从中抽一张,小明最后抽,则他抽到中奖券的概率是(       

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据每人抽到中奖券的概率都相等,与抽签顺序无关,即可得到答案.

    【详解】3张奖券,其中2张可中奖,每人依次从中抽一张,每人抽到中奖券的概率都为

    故小明最后抽,则他抽到中奖券的概率也是.

    故选:D

    【点睛】本题主要考查等可能事件的概率,注意每个人抽到中奖券的概率相等,与抽签先后顺序无关,属于简单题.

    3.已知函数的定义域为(ab),导函数(ab)上的图象如图所示,则函数(ab)上的极大值点的个数为(       

     

    A1 B2 C3 D4

    【答案】B

    【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可

    【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知,(ab)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x0不是函数f(x)的极值点.

    其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,

    故极大值点有2个.

    故选:B

    4.已知一直线运动的物体,当时间从变到时,物体的位移为,那么

    A.时间从变到时物体的速度

    B.在时刻该物体的瞬时速度

    C.当时间为时物体的速度

    D.时间从变到时物体的平均速度

    【答案】B

    【分析】根据平均变化率、瞬时速度定义进行判断选择.

    【详解】表示从时间t时物体的平均速度,从而表示在t时刻该物体的瞬时速度.选B.

    【点睛】本题考查平均变化率、瞬时速度定义,考查基本分析识别能力,属基础题.

    5.已知函数,那么       

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】根据导数的运算计算.

    【详解】

    故选:C

    6.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于的是(       

    AP(X2) BP(X≤2)

    CP(X4) DP(X≤4)

    【答案】C

    【解析】根据超几何分布列式求解即可.

    【详解】X服从超几何分布,P(Xk),故k4

    故选:C.

    7.曲线yex在点(2e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(     

    Ae2 B2e2 Ce2 D

    【答案】D

    【分析】求函数在时的导数,得到切线斜率,点斜式写出切线方程,求出切线坐标轴上的截距,即可求解.

    【详解】因为yex

    所以切线的斜率ke2

    所以切线方程为ye2xe2,它与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2)(10)

    所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.

    故选:D

    8.递增的等比数列中,,则       

    A B C D

    【答案】D

    【解析】为递增的等比数列,可知,与联立求解,确定公比,再根据,求解,即可.

    【详解】为递增的等比数列

    ①②联立解得,即

    故选:D

    【点睛】本题考查等比数列求通项公式,属于中档题.

    9.已知袋子内有7个球,其中4个红球,3个白球,从中不放回地依次抽取2个球,那么在已知第一次抽到红球的条件下,第二次也抽到红球的概率是

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据古典概型概率公式可分别求得第一次抽到红球第一次和第二次都抽到红球的概率,利用条件概率公式求得结果.

    【详解】第一次抽到红球为事件;记第二次抽到红球为事件

    本题正确选项:

    【点睛】本题考查条件概率的求解问题,属于基础题.

    10.已知函数的图象如图所示,则的关系是(       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据函数导数和极值之间的关系,求出对应的关系,即可得到结论.

    【详解】由函数图象知,为函数的极大值点,为函数的极小值点,

    的两个根,又

    所以.

    故选:B.

    【点睛】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系,以及根与系数之间的关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题.

    11.公差不为零的等差数列的前n项和为的等比中项,,则S10等于( )

    A18 B24 C60 D90

    【答案】C

    【详解】依题意可得,,设等差数列的公差为,则.由可得,解得

    所以,故选C

    12.已知数列满足,且,则       

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据题中的递推关系式及,依次取可分别求出的值,即可求得答案.

    【详解】由题意得,又,所以

    易得,则

    同理,,故

    故选:B

    13.某随机变量的取值为,若,则       

    A B C D

    【答案】B

    【分析】,则由,列出方程组,求出

    【详解】解:设

    ①②得,

    所以

    故选:B.

    14.在等差数列{an}中,S15>0,S16<0,则使an>0成立的n的最大值为 (   )

    A6 B7 C8 D9

    【答案】C

    【详解】由题意可得S15   =15a80,即a80

    同理可得S16= =8a8+a9)<0,即a8+a90

    综上可得a80a90,故等差数列{an}为递减数列.

    故数列的前8项为正数,从第9项开始为负值,

    故使an0成立的n的最大值为8

    故选C

    点睛:由等差数列的性质和求和公式结合题意可得,得到a80a90,进而可得数列的前8项为正数,从第9项开始为负值,故数列从第九项开始为负,前八项都为正.从而得到答案.

    15.在三次独立重复试验中,事件A在每次试验中发生的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A发生次数的期望和方差分别为   

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据独立重复试验的概率计算公式,求得,再根据二项分布的期望与方差的公式,即可求解.

    【详解】由题意,设事件在每次试验中发生的概率为

    因为事件至少发生一次的概率为,即,解得

    则事件发生的次数服从二项分布

    所以事件发生的次数的期望为,方差为

    故选A.

    【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算,以及二项分布的期望与方差的计算,其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式,以及二项分布的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

    16.若数列满足为等比数列的(       

    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【解析】,不妨设,则可证充分性;

    为等比数列且时得不到,可知必要性不成立

    【详解】不妨设,则

    为等比数列;故充分性成立

    反之若为等比数列,不妨设公比为

    ,所以必要性不成立

    故选:A

    【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

    (2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.

    17.数列的通项公式为,其前项和是,那么数列的前项和是

    A B C D

    【答案】C

    【详解】试题分析:

    .

    .C正确.

    【解析】等差数列的前项和公式.

    18.已知函数,且,则等于(       

    A B C D

    【答案】C

    【分析】计算出,利用并项求和法可求得结果.

    【详解】对任意的

    因此,.

    故选:C.

    19.已知函数,若且满足,则的取值范围是(       

    A B C D

    【答案】C

    【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围,然后把目标式转化为一元函数,再引入函数,由导数确定其取值范围.

    【详解】由题意时,是减函数,且

    时,是减函数,且

    得,

    ,所以

    时,是增函数,所以,即

    所以

    故选:C

    20.已知函数的定义域为,部分对应值如下表:

    的导函数的图象如图所示,

    则下列关于函数的命题:

    函数是周期函数;

    函数是减函数;

    如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4

    时,函数4个零点.

    其中真命题的个数是

    A4 B3 C2 D1

    【答案】D

    【详解】显然错误;容易造成错觉,tmax5错误,f(2)的不确定影响了正确性;正确,可由f′(x)<0得到.

    二、填空题

    21.若点在曲线上,且,则曲线在点处的切线方程是________

    【答案】

    【解析】利用点斜式可得出所求切线的方程.

    【详解】由题意知,切线的斜率

    所以,曲线在点处的切线方程为,即

    故答案为:

    22.已知数列的前项和,则________.

    【答案】

    【分析】先利用公式求出数列的通项公式,再利用通项公式求出的值.

    【详解】时,

    时,.

    不适合上式,.

    因此,,故答案为.

    【点睛】本题考查利用前项和求通项,一般利用公式,但需要验证是否满足,考查计算能力,属于中等题.

    23.已知在定义域上单调递减,则实数a的取值范围是______.

    【答案】

    【分析】由题意知对于恒成立,分离参数转化为最值问题即可求解.

    【详解】由题意知对于恒成立,

    可得对于恒成立,

    ,只需要即可,

    因为当时,最小为

    所以

    所以实数a的取值范围是

    故答案为:.

    24.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果.

    投资成功

    投资失败

    192

    8

     

    则该公司一年后估计可获收益的平均数是________.

    【答案】4760

    【分析】设可获收益为x万元,先求出投资成功与失败的概率和收益,再计算收益的平均数,即得解.

    【详解】设可获收益为x万元,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%

    一年后公司成功的概率估计为,失败的概率估计为

    所以一年后公司收益的平均数(元).

    故答案为:4760

    25.若数列满足,且,则的最小值为__________

    【答案】

    【分析】根据题意,结合递推关系式与归纳推理,分别求出数列前20项,即可求解.

    【详解】根据题意,易知

    ,以此类推,

    .

    以此类推,得.

    故答案为:.

    【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.

    26.已知在数列中,,其前n项和为.给出下列四个结论:

    时,

    时,数列是递增数列;

    对任意,存在,使得数列成等比数列.

    其中所有正确结论的序号是___________

    【答案】①②④

    【分析】依题意可得,即可求出表示出,根据二次函数的性质即可判断;利用特殊值判断利用构造法构造数列成等比数列,即可得到结论;

    【详解】解:时,,则

    ,则

    ;故正确.

    因为,所以

    ,故正确;

    时,不妨设

    则由

    ,故数列是递增数列错误;故错误.

    ④设

    ,即

    存在,数列成等比数列,此时公比;故④正确;

    故答案为:①②④

    三、解答题

    27.已知函数

    1)求函数的单调区间;

    2)求函数在区间上的最大值和最小值.

    【答案】1在区间上单调递减,在区间上单调递增;(2)最大值最小值1

    【分析】1)利用导数求函数的单调区间得解;

    2)比较端点函数值和极值的大小即得解.

    【详解】解:(1)函数的定义域为   

       

    ,解得

    的变化情况如下表所示.

    1

    0

    +

    单调递减

    1

    单调递增

     

    所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增.

    2)由(1)可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增.

    因为

              

    所以,时,有最大值时,有最小值1

    28.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书本记载了一种名为刍甍的五面体(如图1).其中四边形为矩形,是三角形,刍甍字面意思为茅草屋顶.图是一栋农村别墅,为全新的混凝土结构.它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图,屋顶五面体为刍甍,其中前后两坡屋面是全等的等腰梯形,左右两坡屋面是全等的三角形,点F在平面上射影分别为HM,已知米,米,梯形的面积是面积的倍.设

    1)求屋顶面积关于的函数关系式;

    2)已知上部屋顶造价由屋顶面积确定,造价为/平方米,下部主体造价由高度确定,造价为/米.现欲造一栋上、下总高度为米的别墅,试问:当为何值时,总造价最低?

    【答案】1;(2

    【解析】1)由题意知,在中,,得的面积为,从而得屋顶面积为

    2)别墅总造价为,令,求导求最值即可求解.

    【详解】

    1)由题意知平面

    又因为平面,所以

    中,,所以

    因此的面积为

    从而得屋顶面积为

    所以屋顶面积关于的函数关系式

    2)在中,,所以主体的高度为

    所以

    ,则

    解得,令解得

    所以单调递减,在单调递增,

    所以当时,取得最小值,

    即当时,总造价最低.

    【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是找出的边角关系,表示出的面积,第二问的关键点是求出下部主体的高度即可表示出别墅总造价,利用导数求最值即可.

    29.设函数,其中是自然对数的底数.

    (1)时,求函数的极值.

    (2)在其定义域内为单调函数,求实数的取值范围.

    (3),若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1)函数的极大值为,极小值为

    (2)

    (3).

    【分析】1)利用导数来判断函数的单调区间,即可求函数的极值;

    2)求导得,令,等价于内满足恒成立,因为,所以当且仅当时,时,,进而得的取值范围.

    3)先假设存在,因为,若在上存在实数,使得,在区间上分别求出的最大值和最小值,然后讨论求解.

    1解:由已知,得时,.令,可得,函数在上为单调增函数,在上为单调减函数,所以函数的极大值为,极小值为.函数的极大值为,极小值为.

    2解:,令,要使在其定义域内是单调函数,只需内,满足恒成立,当且仅当时,时,,因为,所以当且仅当时,时,,因为在内有,当且仅当时取等号,所以当时,,此时单调递增,当时,,此时单调递减,综上,的取值范围为

    3)解:,在上是减函数,时,时,,即.时,由(2)知递减1,不合题意.②时,由不合题意时,由(1)知上是增函数,故只需,而e,解得.故的取值范围为

     

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