2021-2022学年河南省驻马店市高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

驻马店市2021-2022学年高二下学期期末考试

（文科）数学试题

本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案3在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如常改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效。

3．考试结束，监考教师将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A．   B．   C．   D．

2．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，若点M的极坐标为，则它的直角坐标为（    ）

A．   B．   C．   D．

3．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．   B．   C．  D．

4．某学校为庆祝建团百年组织征文比赛，前四名被甲、乙、丙、丁获得．甲说：“丙是第一名，我是第三名．”乙说：“我是第一名，丁是第四名．”丙说：“丁是第二名，我是第三名．”已知他们每人只说对了一半，则获得第一名的是（    ）

A．甲    B．乙    C．丙    D．丁

5．直线（t为参数）的倾斜角是（    ）

A．120°    B．30°    C．60°    D．150°

6．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（    ）

A．  B．  C． D．

7．已知，且，，，则a，b，c三个数（    ）

A．至少有一个不小于0     B．都小于0

C．至少有一个不大于0     D．都大于0

8．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，曲线上两点A、B对应的极角分别为、，则的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．已知中，，角A、B、C的对边分别为a，b、c，其内切圆半径为r，由，又，可得．类比上述方法可得：三棱锥中，若，平面ABC，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则该三棱锥内切球的半径是（    ）

A．      B．

C．      D．

10．已知，直线（t为参数）与曲线交于A、B两点，则（    ）

A．    B．1    C．3    D．

11．端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知复数和满足，且，则的最小值是（    ）

A．   B．2    C．3    D．1

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的最小值是______．

14．疫情之下，宅家的人们难免会出现无聊、焦虑、紧张等情绪，因此线上健身催生了人们居家健身的需求，也带动了“刘畊宏们”健身直播的火爆．已知甲乙两人健身与否互不影响，在五一劳动节当天，甲健身的概率是，甲乙恰有一人健身的概率是，则乙健身的概率是______．

15．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．若和有公共点，则a的取值范围是______．

16．若对，关于x的方程恒有实数根，则m的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（本小题满分10分）已知m为实数，复数的实部与虚部相等，其中i为虚数单位。

（Ⅰ）求出m的值；

（Ⅱ）若，求a的取值范围．

18．（本小题满分12分）华为Harmony OS系统是一款面向未来、面向全场景的分布式操作系统，预计该系统将会成为继Android、IOS系统之后的全球第三大手机操作系统．为了了解手机用户对Harmony OS系统的期待程度，某公司随机在20000人中抽取了100名被调查者，记录他们的期待值，将数据分成，，…，6组，其中期待值不低于60的称为非常期待Harmony OS系统，现整理数据得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）试估计总体中期待值在区间内的人数；

（Ⅱ）请根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5%的把握认为是否非常期待Harmony OS系统与性别有关；

（Ⅲ）为了答谢用户对华为Harmony OS系统的期待和信任，宣传部门决定：从非常期待的人群中按分层抽样抽出六名代表参加鸿蒙系统的宣传发布会，在发布会的互动环节中将抽取两位代表赠送手机，求这两位代表为一男一女的概率．

附：，其中．

19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为（t为参数）．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若P，Q分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值．

20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）已知，其中，求证：；

（Ⅱ）若，，求证：．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设不等式的解集为M，若，求实数a取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）设，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：当时，．

驻马店市2021-2022学年高二下学期期末考试

（文科）数学参考答案

一、选择题

1—5 ADCBA  6—10 DACBA  11—12 CD

二、填空题

13．3 14．  15．  16．

三、解答题

17．（1）解：由题意得：

∵复数z的实部与虚部相等 ∴，∴

（2）由（1）知，∴

∴

∴ ∴

18．解：（1）因为样本中期待值不小于60的频率为

所以样本中期待值小于60的频率为0.4，

所以样本中期待值在区间内的人数为，

（2）因为样本中非常期待Harmony OS系统的人数为，

所以样本中女用户人数为45，非常期待Harmony OS系统的的男用户人数为40．列表如下：

所以有99.5%的把握认为男女用户对是否非常期待Harmony OS系统有差异．

（3）∵样本中非常期待Harmony OS系统的男用户人数与女用户人数之比为2:1

∴所抽6人包括4男2女．

记4名男用户分别为A、B、C、D；记2名女用户分别为m、n．

从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女记为事件A

从6人中抽取2人包含的基本事件有AB  AC  AD  Am  An  BC  BD  Bm  Bn  CD  Cm  Cn  Dm  Dn  mn共15种

件A包含的基本事件有Am  An  Bm  Bn  Cm  Cn  Dm  Dn共8种

所以从6人中抽取2人，所抽两人1男1女的概率

19．解：（1）∵曲线的极坐标方程，即：

∴由于，曲线的直角坐标方程为：  即

曲线的参数方程为（t为参数）．

消去参数t得到直角坐标方程为

（2）（法一）：∵P为上动点，∴设．而Q在上

P到直线的距离

∴当时，

的最小值为

（法二）设与直线平行的直线方程为

联立椭圆方程得：

由，得或

∴的最小值即为直线与之间的距离

即

20．解：（1）（法一）要证，

只需证，只需证

只需证，只需证

只需证

∵ ∴，  ∴

∴

（法二）要证，

只需证，只需证

只需证，只需证

∵ ∴只需证

显然成立

∴

（2）∵ ∴由柯西不等式知：

∴

当且仅当向量与向量共线，即，，时取“＝”

∴

21．解：（1）当时，原不等式可化为：

当时，原不等式可化为，解得：  所以

当时，原不等式可化为，解得：  经检验，不符合题意，舍去

当时，原不等式可化为，解得：  所以

所以，综上所述，不等式的解集为

（2）∵不等式的解集为M，

∴不等式在上恒成立

∵  ∴  ∴原不等式可化为：

∴，即：在上恒成立

∴，解集：

故实数a的范围是

22．（1）当时，，  ∴

  ∴

曲线在点处的切线方程为

（2）∵  ∴

∴当时，

令， 

令  易知令在上单调递增

又∵

∴当时，，则，∴单调递减

当时，，则，∴单调递增

  即

∴当时，