2022-2023学年全国高二上学期开学摸底考试数学试卷A卷含解析
展开全国2022-2023学年高二上学期开学摸底考试数学试卷 A卷
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.设,,若是的充分条件,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若集合,,则( )
A. B. C. D.
3.若存在,使不等式成立,则实数m的最大值为( )
A.-3 B.-1 C.0 D.3
4.若不等式对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数,则的递减区间为( )
A. B. C.和 D.
6.若,,且是函数的单调递增区间,则下列一定属于函数的单调递减区间的是( )
A. B. C. D.
7.函数的最小正周期和最大值分别是( )
A.和 B.和2 C.和 D.和2
8.如图,在正四棱柱中,,,动点P,Q分别在线段,AC上,则线段PQ长度的最小值是( )
A. B. C. D.
9.设函数,则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为 B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为 D.在上单调递减
10.已知在中,,,,则下列结论中正确的是( ).
A.
B.若,则为锐角三角形
C.若,则为直角三角形
D.若,则为直角三角形
11.如图,在正方体中,P为线段上的动点(不包含端点),正方体棱长为1,则下列结论正确的有( )
A.直线与所成的角的取值范围是
B.存在P点,使得平面平面
C.三棱锥的体积为
D.平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
12.下列说法正确的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件
B.直线与直线互相平行,则
C.过,两点的所有直线的方程为
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
第II卷(非选择题)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量是200的样本,已知样本中女生比男生少10人,则该校高三年级的女生人数是________.
14.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
15.已知函数的定义域为,则函数的最大值与最小值的和为____________.
16.已知点P是直线上一动点,点Q是圆上一动点,则(O为坐标原点)的最小值为_________.
三、解答题(本题共6小题,共70分。)
17. (10分)已知集合,.
(1)若A是单元素集,求满足条件实数a的值组成的集合;
(2)若,,求实数a的值.
18. (12分)已知函数对任意的实数m,n都有,且当时,有.
(1)求的值;
(2)求证:在R上为增函数;
(3)若,且关于x的不等式对任意的恒成立,求实数a的取值范围.
19. (12分)已知函数图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值;
(2)求函数在上的单调递减区间.
20. (12分)如图,直三棱柱的体积为4,的面积为.
(1)求A到平面的距离;
(2)设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.
21. (12分)信息时代人们对通信功能的要求越来越高,5G的拓展运营在西部得到某科技公司的大力推进.已知该公司现有1000名员工,其中女员工400名.为了解员工在某个月内推进5G运行指标的情况,采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行调查,得到如下统计表:
运行指标 | |||||
频率 | 0.15 | m | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
(1)求m的值,并估计该科技公司该月推进5G运行指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若将推进5G运行指标不低于75的员工评为“璀璨之星”,已知该月被评为“璀璨之星”的男员工有10人,完成如下2×2列联表,并且判断是否有97.5%的把握认为被评为“璀璨之星”与性别有关.
| “璀璨之星” | 非“璀璨之星” | 合计 |
男员工 |
|
|
|
女员工 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
附:.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
22. (12分)已知圆与直线相交于不同的A、B两点.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若,求实数m的值.
答案以及解析
1.答案:D
解析:是的充分条件,
,即.
故选D.
2.答案:A
解析:,所以,则.
3.答案:C
解析:本题考查不等式的存在性问题.由已知可得,存在使之成立,则.
4.答案:A
解析:本题考查一元二次不等式恒成立问题.当,即时,符合题意;当时,需满足且,即.综上,a的取值范围为.
5.答案:C
解析:本题考查反比例函数的单调区间.,根据定义可知,当时,随着x的增大,函数值y不断减小,当时,随着x的增大,函数值y也是不断减小,所以函数y的递减区间为和.
6.答案:B
解析:本题考查函数的奇偶性及单调性.因为,所以是偶函数,因而在上一定单调递减.
7.答案:A
解析:本题考查三角函数的化简与性质.
由三角函数,
得其最小正周期为,最大值为.
8.答案:C
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
根据题意,可设点P的坐标为,,点Q的坐标为,,则,当且仅当,时,线段PQ的长度取得最小值.
9.答案:ABC
解析:本题考查二角函数的图象与性质.对于A项,函数的周期为,,当时,周期,故A项正确;对于B项,当时,为最小值,此时的图象关于直线对称,故B项正确;对于C项,,,所以的一个零点为,故C项正确;对于D项,当时,,此时函数有增有减,不是单调函数,故D项错误.
10.答案:ACD
解析:在中,因为,,,所以,故A正确.
,则只能判定是锐角,不能判定是锐角三角形,故B错误.
,则,所以为直角三角形,故C正确.
,即,所以,又因为,
所以,所以,则为直角三角形,故D正确.故选ACD.
11.答案:BC
解析:本题考查立体几何的综合应用.
对于A选项,如图①,连接以D为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则.则有,所以.令,,
所以在上单调递减.
因为,所以,又,故,故A选项错误.
对于B选项,当P为的中点时,有,易证平面平面,故B选项正确.
对于C选项,三棱锥的体积,故C选项正确.
对于D选项,设的中点为O,连接.当P点在线段(不包含端点)上时,此时平面截正方体所得的截面为梯形,如图②;当P点在O点时,此时平面截正方体所得的截面为正三角形;当P点在线段(不包含端点)上时,此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形,如图③,该三角形不可能为直角三角形,故D选项错误.故选BC.
12.答案:AB
解析:对于A,当时,“直线与直线互相垂直”,当直线与直线互相垂直时,即,解得或,故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件,故A正确;
对于B,直线与直线互相平行,则,且,解得,故B正确;
对于C,过,两点的直线的方程为,故C错误;
对于D,经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程有两种情况:
①经过原点的直线为,②当直线不经过原点时,设在坐标轴上的截距为a,则直线方程为,所以,解得,故,故D错误.故选AB.
13.答案:760
解析:设样本中女生有x人,则男生有人,所以,得,
设该校高三年级的女生有y人,则由分层随机抽样的定义可知,解得.
14.答案:
解析:由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.
15.答案:6
解析:由题意得函数的定义域关于坐标原点对称,设,则,函数为奇函数,函数的最大值与最小值的和为0,函数的最大值与最小值的和为6.
16.答案:
解析:由题可知,圆心,半径,如图所示,易知点O关于直线l的对称点为,连接AC,则,当且仅当点P,Q在AC上时,等号成立.
17.答案:
(1)当时,,满足题意;
当时,,此时,满足题意.
所以满足条件a的值组成的集合为.
(2),,
、是方程的两个根,
代入可得.
18.答案:
(1)令,则,
.
(2)证明:任取,,且,
则,.
,
,
,
在R上为增函数.
(3),
即,
.
,
.
又在R上为增函数,
,
对任意的恒成立.
令,,
只需满足即可.
当,即时,
在上递增,
因此,
由得,
此时;
当,即时,
,
由得,
此时.
综上,实数a的取值范围为.
19.答案:
(1)当时,取得最大值为.
又图象上最高点的纵坐标为2,,即.
又的图象上相邻两个最高点的距离为,
的最小正周期,
.
(2)由(1)得,
由,
得.
令,得.
函数在上的单调递减区间为.
20.答案:
(1)设点A到平面的距离为h,
因为直三棱柱的体积为4,
所以,
又的面积为,,
所以,
即点A到平面的距离为.
(2)取的中点E,连接AE,则,
因为平面平面,平面平面,
所以平面,所以,
又平面ABC,
所以,因为,所以平面,
所以.
以B为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
由(1)知,,所以,,
因为的面积为,所以,所以,
所以,,,,,,
则,,
设平面ABD的法向量为,
则即
令,得,
又平面BDC的一个法向量为,
所以,
设二面角的平面角为,
则,
所以二面角的正弦值为.
21.答案:
(1)根据题意,,解得,
平均数.
所以该科技公司该月推进5G运行指标的平均数约为67.
(2)根据题意,利用分层抽样法可知所抽取的100人中男员工60人,女员工40人,被评为“璀璨之星”的有(人),则被评为“璀璨之星”的女员工有(人),
则2×2列联表如下:
| “璀璨之星” | 非“璀璨之星” | 合计 |
男员工 | 10 | 50 | 60 |
女员工 | 15 | 25 | 40 |
合计 | 25 | 75 | 100 |
则.
所以有97.5%的把握认为被评为“璀璨之星”与性别有关.
22.答案:
(1)由消去y得,,
由已知得,,解得,故实数m的取值范围是.
(2)设圆C的半径为r,因为圆心到直线的距离为,
所以,
由已知得,解得.
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文科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C(全国甲卷专用): 这是一份文科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C(全国甲卷专用),文件包含文科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C全国甲卷专用解析版docx、文科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C全国甲卷专用考试版docx、文科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C全国甲卷专用参考答案docx、文科数学-2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷C全国甲卷专用答题卡docx等4份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。
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