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    2022-2023学年全国高二上学期开学摸底考试数学试卷A卷含解析

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    这是一份2022-2023学年全国高二上学期开学摸底考试数学试卷A卷含解析,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    全国2022-2023学年高二上学期开学摸底考试数学试卷 A

    考试时间:120分钟   满分:150

    说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上

    I卷(选择题)

    一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

    1.,若的充分条件,则实数m的取值范围是(   )
    A. B. C. D.

    2.若集合,则(   )

    A. B. C. D.

    3.若存在,使不等式成立,则实数m的最大值为(   )

    A.-3 B.-1 C.0 D.3

    4.若不等式对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是(   )

    A. B. C. D.

    5.已知函数,则的递减区间为(   )

    A. B. C. D.

    6.,且是函数的单调递增区间,则下列一定属于函数的单调递减区间的是(   )

    A. B. C. D.

    7.函数的最小正周期和最大值分别是(   )

    A. B.2 C. D.2

    8.如图,在正四棱柱,,,动点P,Q分别在线段,AC,则线段PQ长度的最小值是(   )

    A. B. C. D.

    9.设函数,则下列结论正确的是(   )

    A.的一个周期为 B.的图象关于直线对称

    C.的一个零点为 D.上单调递减

    10.已知在中,,则下列结论中正确的是(   ).

    A.

    B.,则为锐角三角形

    C.,则为直角三角形

    D.,则为直角三角形

    11.如图,在正方体,P为线段上的动点(不包含端点),正方体棱长为1,则下列结论正确的有(   )

    A.直线所成的角的取值范围是

    B.存在P,使得平面平面

    C.三棱锥的体积为

    D.平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

    12.下列说法正确的是(   )

    A.“直线与直线互相垂直的充分不必要条件

    B.直线与直线互相平行,则

    C.两点的所有直线的方程为

    D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

    II卷(非选择题)

    二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)

    13.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量是200的样本,已知样本中女生比男生少10人,则该校高三年级的女生人数是________.

    14.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.

    15.已知函数的定义域为,则函数的最大值与最小值的和为____________.

    16.已知点P是直线上一动点,点Q是圆上一动点,则(O为坐标原点)的最小值为_________.

    解答题(本题共6小题,共70分。)

    17. 10已知集合.

    1)若A是单元素集,求满足条件实数a的值组成的集合;

    2)若,求实数a的值.

    18. 12已知函数对任意的实数mn都有,且当时,有.

    1)求的值;

    2)求证:R上为增函数;

    3)若,且关于x的不等式对任意的恒成立,求实数a的取值范围.

    19. 12已知函数图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为.

    (1)的值;

    (2)求函数上的单调递减区间.

    20. 12如图,直三棱柱的体积为4的面积为.
     

    1)求A到平面的距离;
    2)设D的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.

    21. 12信息时代人们对通信功能的要求越来越高,5G的拓展运营在西部得到某科技公司的大力推进.已知该公司现有1000名员工,其中女员工400.为了解员工在某个月内推进5G运行指标的情况,采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行调查,得到如下统计表:

    运行指标

    频率

    0.15

    m

    0.25

    0.15

    0.10

    1)求m的值,并估计该科技公司该月推进5G运行指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

    2)若将推进5G运行指标不低于75的员工评为璀璨之星,已知该月被评为璀璨之星的男员工有10人,完成如下2×2列联表,并且判断是否有97.5%的把握认为被评为璀璨之星与性别有关.

     

    璀璨之星

    璀璨之星

    合计

    男员工

     

     

     

    女员工

     

     

     

    合计

     

     

     

    附:.

    0.150

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    k

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    22. 12已知圆与直线相交于不同的AB两点.

    (1)求实数m的取值范围;

    (2),求实数m的值.

     

     

    答案以及解析

    1.答案:D

    解析:的充分条件,
    ,即.
    故选D.

    2.答案:A

    解析:,所以,则.

    3.答案:C

    解析:本题考查不等式的存在性问题.由已知可得,存在使之成立,则.

    4.答案:A

    解析:本题考查一元二次不等式恒成立问题.,即时,符合题意;当时,需满足,即.综上,a的取值范围为.

    5.答案:C

    解析:本题考查反比例函数的单调区间.,根据定义可知,当时,随着x的增大,函数值y不断减小,当时,随着x的增大,函数值y也是不断减小,所以函数y的递减区间为.

    6.答案:B

    解析:本题考查函数的奇偶性及单调性.因为,所以是偶函数,因而上一定单调递减.

    7.答案:A

    解析:本题考查三角函数的化简与性质.

    由三角函数

    得其最小正周期为,最大值为.

    8.答案:C

    解析:建立如图所示的空间直角坐标系,

    根据题意,可设点P的坐标为,点Q的坐标为,则,当且仅当,,线段PQ的长度取得最小值.

    9.答案:ABC

    解析:本题考查二角函数的图象与性质.对于A项,函数的周期为,当时,周期,故A项正确;对于B项,当时,为最小值,此时的图象关于直线对称,故B项正确;对于C项,,所以的一个零点为,故C项正确;对于D项,当时,,此时函数有增有减,不是单调函数,故D项错误.

    10.答案:ACD

    解析:在中,因为,所以,故A正确.

    ,则只能判定是锐角,不能判定是锐角三角形,故B错误.

    ,则,所以为直角三角形,故C正确.

    ,即,所以,又因为

    所以,所以,则为直角三角形,故D正确.故选ACD.

    11.答案:BC

    解析:本题考查立体几何的综合应用.

    对于A选项,如图,连接D为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,.则有,所以.,,

    所以上单调递减.

    因为,所以,,,A选项错误.

    对于B选项,P的中点时,,易证平面平面,B选项正确.

    对于C选项,三棱锥的体积,C选项正确.

    对于D选项,的中点为O,连接.P点在线段(不包含端点)上时,此时平面截正方体所得的截面为梯形,如图;P点在O点时,此时平面截正方体所得的截面为正三角形;P点在线段(不包含端点)上时,此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形,如图,该三角形不可能为直角三角形,D选项错误.故选BC.

    12.答案:AB

    解析:对于A,当时,直线与直线互相垂直,当直线与直线互相垂直时,即,解得,故直线与直线互相垂直的充分不必要条件,故A正确;

    对于B,直线与直线互相平行,则,且,解得,故B正确;

    对于C,过两点的直线的方程为,故C错误;

    对于D,经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程有两种情况:

    经过原点的直线为当直线不经过原点时,设在坐标轴上的截距为a,则直线方程为,所以,解得,故,故D错误.故选AB.

    13.答案:760

    解析:设样本中女生有x人,则男生有人,所以,得

    设该校高三年级的女生有y人,则由分层随机抽样的定义可知,解得.

    14.答案:

    解析:由于事件中国队夺得女子乒乓球单打冠军包括事件甲夺得冠军乙夺得冠军,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.

    15.答案:6

    解析:由题意得函数的定义域关于坐标原点对称,设,则函数为奇函数,函数的最大值与最小值的和为0函数的最大值与最小值的和为6.

    16.答案:

    解析:由题可知,圆心,半径,如图所示,易知点O关于直线l的对称点为,连接AC,则,当且仅当点PQAC上时,等号成立.

    17.答案:

    1)当时,,满足题意;
    时,,此时,满足题意.
    所以满足条件a的值组成的集合为.

    2
    是方程的两个根,
    代入可得.

    18.答案:

    1)令,则

    .

    2)证明:任取,且

    .

    R上为增函数.

    3

    .

    .

    R上为增函数,

    对任意的恒成立.

    只需满足即可.

    ,即时,

    上递增,

    因此

    此时

    ,即时,

    此时.

    综上,实数a的取值范围为.

    19.答案:

    (1),取得最大值为.

    图象上最高点的纵坐标为2,,.

    的图象上相邻两个最高点的距离为,

    的最小正周期,

    .

    (2)(1),

    ,

    .

    ,.

    函数上的单调递减区间为.

    20.答案:

    1)设点A到平面的距离为h
    因为直三棱柱的体积为4
    所以
    的面积为
    所以

    即点A到平面的距离为.
    2)取的中点E,连接AE,则
    因为平面平面,平面平面
    所以平面,所以
    平面ABC
    所以,因为,所以平面
    所以.
    B为坐标原点,分别以的方向为xyz轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系

    由(1)知,,所以
    因为的面积为,所以,所以
    所以

    设平面ABD的法向量为

    ,得
    又平面BDC的一个法向量为
    所以
    设二面角的平面角为

    所以二面角的正弦值为.

    21.答案:

    1)根据题意,,解得

    平均数.

    所以该科技公司该月推进5G运行指标的平均数约为67.

    2)根据题意,利用分层抽样法可知所抽取的100人中男员工60人,女员工40人,被评为璀璨之星的有(),则被评为璀璨之星的女员工有()

    2×2列联表如下:

     

    璀璨之星

    璀璨之星

    合计

    男员工

    10

    50

    60

    女员工

    15

    25

    40

    合计

    25

    75

    100

    .

    所以有97.5%的把握认为被评为璀璨之星与性别有关.

    22.答案:

    (1)消去y得,

    由已知得,,解得,故实数m的取值范围是.

    (2)设圆C的半径为r,因为圆心到直线的距离为

    所以

    由已知得,解得.















     

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