2021-2022学年黑龙江省大庆中学高二上学期第一次月考数学试题解析版

黑龙江省大庆中学2021-2022学年高二上学期第一次月考

数学试题

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（    ）

A.   B.   C.   D.

3.直线的倾斜角为60°，经过点，，则直线与直线的位置关系是（    ）

A.平行   B.垂直   C.重合   D.平行或重合

4.圆：和圆：的公切线的条数为（    ）

A.1   B.2   C.3   D.4

5.设，向量，，，且，，则（    ）

A.   B.3   C.4   D.

6.如果数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（    ）

A.，   B.，   C.，   D.，

7.（    ）

A.   B.   C.   D.

8.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（    ）

A.16   B.   C.20   D.

9.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（    ）

A.10   B.3   C.   D.

10.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ）

A.     B.

C.   D.

11.若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（    ）

A.2   B.1   C.   D.

12.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，A、B为切点，则直线AB经过定点（    ）

A.   B.   C.   D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）

13.已知直线与直线垂直，则实数的值可以是（    ）

A.0   B.   C.   D.

14.已知直线与圆：，则（    ）

A.对，直线恒过一定点

B.，使直线与圆相切

C.对，直线与圆一定相交

D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

15.圆与圆的公共弦所在直线方程____________.

16.正方体的棱长为2，点M和N分别是和的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为____________.

17.直线：与曲线：有两个公共点，则的取值范围是___________.

18.一束光线从点出发经轴反射到圆：上，光线的最短路程是____________.

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19.已知直线与直线交于点.

（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式）

（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.（直线方程写成一般式）

20.已知圆：与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）过点作圆的切线，求切线方程；

21.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.

（1）求证平面；

（2）求直线与平面所成角的大小.

22.已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹形状.

23.如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.

（1）求证：；

（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.

大庆中学2021-2022学年度高二上学期数学月考试题

【答案】

1.A  2.C  3.D  4.B  5.B  6.C  7.C  8.C  9.D  10.C

11.C  12.A  13.AB  14.ACD

15.

16.

17.

18.4

19.解：（1）由，得.

设直线的方程为，代入点坐标得，

所以直线的方程为，

所以两平行线间的距离.

（2）当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；

当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，

所以直线的方程的方程为，即.

综上所述，直线的方程为或.

20.解：（1）由题意，知圆心到直线的距离，

所以圆的方程为.

（2）或

21.解：（1）取CE中点为G，连接DG、FG，

∵且，

∴四边形BFGC为平行四边形，则且.

∵四边形ABCD为矩形，

∴且，

∴且，

∴四边形AFGD为平行四边形，则.

∵平面，平面，

∴平面；

（2）∵四边形为直角梯形，四边形为矩形，

∴，，

又∵平面平面，且平面平面，

∴平面.

以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.

根据题意我们可得以下点的坐标：，，，，，，则，.

设平面的一个法向量为，则

∵，，

∴，取，得.

∵，

∴，

∴，

∴直线与平面所成角的大小为.

22.解：（1）由已知设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径，

∵圆心到直线：的距离，

由已知得，解得，

故圆心为或，半径等于3.

∵圆与轴正半轴相切，

∴圆心只能为，

故圆的方程为；

（2）①设，则，，

∴，∴，

∵点在圆上运动，

∴，

即，即，

所以点的轨迹的方程为，

它是一个以（5，5）为圆心，以1为半径的圆.

23.（1）证明：∵长方形中，，，为的中点，

∴，则，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）取M中点O，连接DO，则平面ABCM，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，

设，，.

设平面的一个法向量为，则，

取，得.

∵二面角的余弦值为.

∴由，解得.

∴为上靠近点的处.

【解析】

1.解：因为，所以，

故.

故选：A.

先利用复数的运算法则求出复数的代数形式，再利用共轭复数的定义求解即可.

本题考查了复数的运算，以及共轭复数的概念，解题的关键是掌握复数的运算法则，属于基础题.

2.解：由于选项：A不是周期函数.

选项B不是偶函数，选项D不是偶函数，

故选：C.

直接利用函数的性质的应用求出结果.

本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对定义的应用能力.

3.【分析】

本题主要考查利用直线的斜率判断直线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于基础题.

求出直线MN的斜率，根据l1，的斜率关系即可得到.

解：由点M，N可求得直线的斜率..

因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率，

则有，则直线与直线平行或重合.

故选D.

4.【分析】

本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.

根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.

【解答】

解：∵两个圆：与：，

∴圆圆心为，半径为2，圆圆心为，半径为2，

∴两圆圆心距为，

∵，

∴两圆相交，有2条公切线.

故选B.

5.【分析】

本题主要考查空间向量的平行、垂直关系及模长公式求解，属于基础题.

根据，可得，即可求得，根据，可得对应坐标成比例，即可求得，即可得坐标，代入模长公式，即可得答案.

【详解】

因为，所以，解得，所以，

因为，所以，解得，所以，

所以，

所以.

故选：B.

6.【分析】

主要考查了平均数和方差的概念，直接根据公式求解即可.

【解答】

解：∵的平均数为，

∴，

∴的平均数是：

.

∵的方差为，

∴，

∴的方差

是：

.

故选C.

7.【分析】

本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于基础题.

利用二倍角公式和辅助角公式将原始化为，再求解.

【解答】

解：原式

.

故选C.

8.【分析】

本题考查了组合体的表面积，求四棱锥的斜高是关键，考查了运算能力和空间想象能力，属于基础题.

该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积公式求出正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可.

【解答】

解：由题意，该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，

因为正四棱锥的高为，

所以正四棱锥的斜高为，

该组合体的表面积为.

故选：C.

9.【分析】

本题主要考查了法向量的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

利用，即可得出.

【解答】

解：由已知得，

故点到平面的距离.

故选D.

10.【分析】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用斜率的几何意义求出取值范围.

【解答】

解：∵圆的方程为，

过点（1，2）作圆的切线方程，设切线方程为，即.

则，

解得：.

则的取值范围为.

故选C.

11.【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到线的距离公式，是基础题.

圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值.

【解答】

解：圆，即，

圆心，半径为3，

∵圆上恰有三点到直线的距离为2，

∴圆心到直线的距离为1，

即，

解得.

故选C.

12.【分析】

本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题.

根据题意设的坐标为，由切线的性质得点A、B在以CP为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标.

【解答】

解：因为是直线上的任一点，所以设，

因为圆C：的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，

所以C为坐标原点，且，，

则点A、B在以CP为直径的圆上，即AB是圆C和圆的公共弦，

则圆心的坐标是，且半径的平方是，

所以圆的方程是①，

又②，

②-①得，，

即公共弦AB所在的直线方程是，

即，

由，得，

所以直线恒过定点.

故选A.

13.【分析】

本题主要考查了直线的点斜式方程，直线与直线垂直的判定及其性质的应用，属于基础题.

分和两种情况讨论，当时，由斜率乘积等于-1求解.

【解答】

解：当时，直线与直线垂直，符合题意；

当时，将直线变形，

得，得，

由直线，得，得，

因为两直线垂直，

所以，

解得.

综上，实数的值为0或.

故选AB.

14.【分析】

本题考查了直线系方程的应用以及直线与圆的位置关系及判定，属基础题.

结合题意，由过定点的直线系方程以及直线与圆的位置关系判定分析各选项即可

【解答】

解：由题意，直线变形得，

由得直线过定点，选项A正确；

将圆变形得，即圆心，半径，

所以，所以直线与圆一定相交，C正确，B错误；

由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，直线被圆截得的弦长取最小值，

此时弦长为，D正确.

故选ACD.

15.解：根据题意，圆，即，

圆，即，

联立两个圆的方程，变形可得，

即两圆公共弦的方程为，

故答案为：，

根据题意，将两圆的方程变形为一般方程，联立变形可得答案.

本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程的应用，属于基础题.

16.【分析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM和CN所成角的余弦值.

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.

【解答】

解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设异面直线AM和CN所成角为，

则.

∴异面直线AM和CN所成角的余弦值为.

故答案为：.

17.【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题，关键是将曲线C的方程，两边平方，并注意到，得到一个半圆，然后考查直线与半圆何时有两个公共点即可，画出图形，借助于直线与圆相切的条件求得相切时的b的值，然后结合图形观察即得.

【解答】

解：如图所示，是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，是一个斜率为1的直线，

要使两图有两个交点，连接和，直线必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线的b值，

当直线与AB重合时，；当直线与半圆相切时，.

所以b的取值范围是.

18.【分析】

本题主要考查关于直线的对称问题，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题.

求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为，计算求得结果.

【解答】

解：由题意可得圆心，半径，点关于轴的对称点，如图：

所以，

因此光线的最短路程是.

故答案为4.

19.本题主要考查的是直线方程的求法，两直线平行的关系，是基础题.

（1）先求得直线与直线交于点的坐标为（-1，1），直线的方程为，点代入方程即可求解；

（2）对直线是否过坐标原点进行分类讨论即可，

20.此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题，属于中档题.

（1）由圆O与直线相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆的方程；

（2）分两种情况考虑：当直线斜率不存在时，直线满足题意；当直线斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线的方程，综上，得到满足题意直线的方程；

（3）根据题意求出A的坐标，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可.

21.本题主要考查了线面平行的判定，直线与平面所成角的计算，解题的关键是熟练掌握利用空间向量求线面的夹角，属于基础题.

（1）取CE中点为G，连接DG、FG，推出，可证平面CDE；

（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面ADE所成角的大小.

22.本题圆的方程的求解及直线与圆的位置关系，同时考查动点轨迹的探求及定值定点问题，属于拔高题.

（1）设圆的圆心坐标为，半径为r，利用已知得t，r的关系，然后解方程组求解即可；

（2）①设M的坐标，利用平面向量的坐标运算得出M的坐标与A的坐标的关系，然后代入（1）中的方程即可求解；

②假设存在这样的点满足题意，设，然后利用多项式恒等求解即可.

23.本题考查线线垂直的证明，考查点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

（1）在长方形中，，，M为DC的中点，可得，则，由线面垂直的判定可得平面，则；

（2）取M中点O，连接DO，则平面，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求得值，即可得的位置.