2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期入学考试数学试题含答案

四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二上学期入学考试

数学试题

2021年9月

注意事项：

1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名､考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.

3.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.

4.考试结束后，将答题卡收回.

第I卷（选择题，丛60分）

一､选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列命题中，正确的是（    ）

A.直线的斜率为，则直线的倾斜角是

B.直线的倾斜角为，则直线的斜率为

C.直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

D.直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

2.下列命题中正确的是（    ）

A.如果非零向量的方向相反或相同，那么的方向必与之一的方向相同

B.若，则为三角形的三个顶点

C.设，若，则

D.若，则

3.设，则关于的不等式的解集是（    ）

A.或    B.

C.或    D.

4.等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ）

A.146    B.100    C.50    D.128
5.已知函数且有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则的取值范围是（    ）.

A.    B.    C.    D.

6.给出下列四种说法：

①若平面，直线，则；

②若直线，直线，直线，则；

③若平面，直线，则；

④若直线，则.

其中正确说法的个数为（    ）.

A.4个    B.3个    C.2个    D.1个

7.数列的前项和为，且，则（    ）

A.1009    B.    C.    D.1010
8.已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ）.

A.4    B.    C.8    D.

9.若不等式在区间[1，2]上有解，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.设的内角所对的边分别为.若三边的长为连续的三个正整数，且，则（    ）.

A.    B.    C.    D.

11.若在所在平面内，满足，且，则点依次为的（    ）.

A.重心，外心，垂心    B.重心，外心，内心

C.外心，重心，垂心    D.外心，垂心，重心

12.一个正方体的内切球､外接球､与各棱都相切的球的半径之比为（    ）

A.    B.    C.    D.

第II卷（非选择题，共90分）

二､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷中相应的位置上.）

13.若直线和直线垂直，则__________.

14.若，若为钝角，则实数的取值范围是__________.

15.三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，则三棱锥体积的最大值为__________.

16.已知，且，则的最小值为__________.

三､解答题（本大题6个小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）已知平面向量满足：

（1）求与的夹角；

（2）求向量在向量上的投影.

18.（本小题满分12分）已知钝角中，三条边长为连续正整数.

（1）求最大角的余弦值；

（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.

19.（本小题满分12分）已知函数，若的解集为.

（1）求；

（2）解关于的不等式.

20.（本小题满分12分）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.

（1）求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润=销售额一投入成本一固定成本）；

（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.

21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本小题满分12分）已知数列各项都是正数，，对任意都有.数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

绵阳南山中学2021年秋季高二入学考试

数学答案

一､单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1-12DCBABDACBADC

11.解：（1），为的外心.

（2），

，即，

，同理可得：.

为的垂心.

（3），

取的中点，则，

三点共线，即为的中线上的点，且.

为的重心.

故选：.

12.解：设正方体的棱长为1，

则其内切球的半径为，外接球的半径为（正方体体对角线的一半），与各棱都相

切的球的半径为（正方体面对角线的一半），

所以它们的半径之比是，

故选.

二､单空题（本大题共4小题，共分）

13.0或    14.    15.3    16.   

16.解：因为，且，

所以，且，

当且仅当时，等号成立，

所以.

故答案为.

三､解答题（本大题共6小题，共70分）

17.【答案】解：（1），

，

，

又；

（2）；

，

向量在向量上的投影为：

.

18.【答案】解：（1）由题意，三角形的三条边长为连续正整数，设中间为，最大边则

为：，最小边为

设最大角为，由余弦定理可得：.

又是钝角三角形，

，即，

解得：.

或3.

当时，，此时三角形不存在.

故得.

.

（2）由（1）可知最大角为，其两边分别为，则，

，则

平行四边形的面积

，（当且仅当时取等号）

可得：.

故得平行四边形的面积.

19.【答案】解：（1）函数，

故不等式，即，

由于不等式的解集为可得，

，且，求得，且.

（2）关于的不等式，即，

即.

当时，不等式即，它的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20.【答案】解：（1）当时，

当时，，

.

（2）当时，，

当时，取得最大值，

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

当时，取得最大值，

综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，为1040万元.

21.【答案】（1）证明：取棱的中点，连接，

由题意可知，，又因为平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，

故，又平面

则平面；

（2）解：连接，由（2）可知，平面，

则为直线与平面所成的角，

因为为等边三角形，且为的中点，

所以，又，

在Rt中，，

故直线与平面所成角的正弦值为.

22.【答案】解：（1）数列各项都是正数，，对任意都有，①

当时，，②

①-②可得，

化为，由于，所以，

上式对也成立，

所以；

数列满足，

可得，

当时，，又，

两式相减可得，

所以的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，

可得奇数项为，偶数项为，

所以；

（2），

，

，

两式相减可得

，化为，

若不等式对一切恒成立，

即为恒成立，

设，

，

当时，，当时，，

所以时，取得最大值，

则，解得，

即的取值范围是.