2021-2022学年河南省开封市五县部分校高一下学期3月月考数学试卷含答案

开封市五县部分校2021-2022学年高一下学期3月月考

数学试卷

一、选择题：单项选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中．

只有一项是符合题口要求的）

1．复数，，若，则（    ）

A．1+i   B．1－i   C．－1+i   D．－1－i

2．已知A，B，C是平面内三点，向量，满足，且，则（    ）

A．2  B．16  C．4  D．

3．已知i是虚数单位，若z＝1+i，则（    ）

A．   B．   C．   D．

4．在△ABC中，“A>B”是“”的（    ）．

A．充要条件  B．充分非必要条件  C．必要非充分条件  D．既非充分又非必要条件

5．定义运算，则符合条件（i是虚数单位）的复数z对应的点所在象限为（    ）．

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．若，则四边形ABCD一定是（    ）

A．矩形   B．梯形   C．平行四边形   D．菱形

7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A．b＝10，A＝45°，C＝70°    B．a＝30，b＝25，A＝150°

C．a＝7，b＝8，A＝98°     D．a＝14，b＝16，A＝45°

8．已知非零向量，满足，若，则向量，的夹角为（    ）

A．   B．   C．   D．

9．设，，则（    ）

A．   B．   C．  D．

10．已知点P是△ABC所在平面内的一个动点，满足（λ>0），则射线AP经过△ABC的（    ）

A．内心   B．外心   C．重心   D．垂心

11．△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则角C的值为（    ）

A．   B．   C．   D．

12．△ABC中，AB＝4，，点O为△ABC外接圆的圆心．且，则△ABC的面积为（    ）

A．  B．   C．  D．

二、填空题（本题有4个小题，每小题5分，共20分）．

13．若向量，，且，则x＝______．

11．△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，．则△ABC的面积为______．

15．下列说法正确的序号为______．

①若复数，则．

②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集．

③已知复数，，若，则，均为实数．

④复数的虚部是1．

16．△ABC中．一个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝2，，则△ABC面积的最大值为______．

三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过福或演算步表）

17．（本小题满分10分）

已知，复数（i是虚数单位）．

（1）若复数z是实数，求m的值；

（2）若复数z对应的点位于复平面的第二象限，求m的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，，，E、F分别为AB、CE的中点，，，．

（1）用，分别表示向量，，，；

（2）求证：A，F，G三点共线．

19．（本小题满分12分）

“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A．△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB＝BC＝CD＝2，．

（1）霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；

（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正比，记△ABD与△BCD的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．

20．（木小题满分12分）

已知复数，，其中a是实数．

（1）若，求实数a的值；

（2）若是纯虚数，a是正实数，求．

21．（本小题满分12分）

在三角形ABC中．AB＝4，BC＝2，，D是线段BC上一点，且，E为线段AB上一点．

（1）已知，，设，求；

（2）若E为线段AB的中点，直线CE与BD相交于点F，求．

22．（本小题满分12分）

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c．若．

（1）求角C的值；

（2）如图，若AD＝DB，BE＝AC+CE，AC＝1，求ED长度．

开封市五县部分校2021-2022学年高一下学期3月月考

数学答案

一、选择题：

二、填空题：

13．13；  14．；  15．①②③；  16．．

三 解答题：

17．解：（1）∵是实数，

∴，解得m＝3；

（2）∵复数z对应的点位于复平面的第二象限，

∴，解得．

∴实数m的取值范围是（－2，－1）．

18．解：（1）∵，AB＝2CD且E为AB的中点

∴AE＝EB，，AE＝DC

从而四边形AECD为平行四边形

∴，AD＝CE

∵，，∴

∵F为CE中点，∴

∴，

∵，∴

从而

综上所述，，，，

（2）证明：由（1）知

由共线向量定理可知：

又因为，有公共点A，所以A，F，G三点共线，

故A，F，G三点共线得证．

19．解：（1）在△ABD中，由余弦定理得

，

同理，在△BCD中，由余弦定理得

所以，即，

故

（2）因为△ABD与△BCD的面积分别为和，所以：

从而，

由（1）知：，代入上式得：

，

配方得：，

∵A为△ABC的内角，∴，

∴当时，取到最大值14．

20．解：（1）∵，，

∴

从而，解得a＝2

所以实数a的值为2．

（2）依题意得：

因为是纯虚数，所以：，从而a＝2或；

又因为a是正实数，所以a＝2．

当a＝2时，，

因为，，，，……，，，，，（）

所以

所以

21．（1）因为，

所以，

又因为

所以，根据平面向量基本定理可知：，，故．

（2）因为E为线段AB的中点

所以，

令，则，所以有：

又因为且

所以，从而

∴，

∴，

又因为，所以．

法二：建立平面直角坐标系，略

22．解：（1）因为

所以

所以

因为A，B，C为三角形的内角，所以

所以

由正弦定理可得：，

即

因为，所以，所以

因为，所以

（2）设CE＝x，ED＝y，则，

在△ABC中，由余弦定理知：

在△ABC，△BDE中，由余弦定理知：

代入数据得：

整理可得：，所以，即

故ED的长为

法二提示：延长EC到F，使CF＝CA＝1，AF＝2DE，求AF即可