2021-2022学年吉林省通化市部分重点中学校高一下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年吉林省通化市部分重点中学校高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因，故应选答案A．

2．已知向量，则（       ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据向量数量积的坐标运算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，向量，可得，

所以.

故选：A.

3．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】A：根据线面平行的性质进行判断即可；

B：举特例进行判断即可；

C：根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质、面面垂直的判定定理进行判断即可；

D：举特例进行判断即可.

【详解】A：因为平行于同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，所以本选项说法不正确；

B：设，当，时，有，显然不成立，因此本选项说法不正确；

C：因为，所存在过的平面与相交，设，因此有，而，

所以，而，所以，故本选项说法正确；

D：当时，，也可成立，故本选项说法不正确，

故选：C

4．正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算结合图象即可得解.

【详解】解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，

∴．

故选：D．

5．在普通高中新课程改革中，某地实施“3＋1＋2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果.

【详解】从门学科中任选门共有：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共种情况

其中满足政治和地理至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为

故选：D

6．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（       ）

A．7 B．7.5 C．8 D．9

【答案】C

【分析】把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第80百分位数；

【详解】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且，

故选：C.

【点睛】本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.

7．已知正方体的所有顶点都在球O的表面上，若球的体积为，则正方体的体积为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求出球的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的体积.

【详解】解：球的体积为，

即，

解得：，

设正方体的棱长为，

由题意知：，

即，

解得：，

正方体的体积.

故选：D.

8．在中，若的面积，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知三角形的面积公式，余弦定理和同角三角函数的基本关系式，求得，即可求解答案．

【详解】由题意可知，在中，满足，即，

又由，所以，即，

因为，所以当即时显然不成立.

所以，又由，所以.

故选:A

9．若数据的均值为1，方差为2，则数据的均值、方差为（       ）

A．1，2 B．，2 C．1， D．，

【答案】B

【解析】由已知得 ， ，再根据均值和方差计算公式求得新数据的均值和方差

【详解】 的均值为1, 方差为2

 ,

数据的均值为

数据方差为

故选：B

【点睛】本题考查数据的均值和方差，属于基础题.

10．如图，在正方体中，､分别为，的中点，则下列说法错误的是（       ）

A．平面

B．

C．直线与平面所成角为45°

D．异面直线与所成角为60°

【答案】D

【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．

【详解】如图，连结BD，A1D，

由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，

而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，

∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，

∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；

直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；

而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．

故选：D

【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，属于中档题．

二、填空题

11．在△中，若，，，则____.

【答案】

【解析】由余弦定理求出，再次由余弦定理得出.

【详解】由余弦定理可知

即

故答案为：

12．雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对部分参与人员采访.决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为________；

【答案】12；

【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.

【详解】因为机械车操控人员，管理人员和工人的数量比为：，

所以按照分层抽样的方法抽取35人，从工人中抽取的人数为：，

故答案为：12

【点睛】本题考查了分层抽样性质的应用，属于基础题.

13．已知与的夹角为，，，则__________.

【答案】

【分析】首先运算出与的数量积，然后对进行平方再开方变形，即可求解.

【详解】∵与的夹角为，，，

∴，

∴.

故答案为：.

14．如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：①平面平面；②平面平面；③三棱锥的体积不变；④平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）

【答案】①②③

【分析】①在正方体中可证平面平面，又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;

②先证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面，所以②正确；

③根据平面,可得三棱锥的体积不变，所以③正确；

④由平面，而与交于，可得④不正确.

【详解】①因为在正方体中有, ,且平面,平面,所以 平面,同理得平面,

又,所以平面平面,

又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;

②因为平面，所以在平面内的射影为，

因为，根据三垂线定理可得，

同理可得，

因为，

所以平面，

因为平面，所以平面平面，所以②正确；

③由①知平面，所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积不变，所以③正确；

④由②知平面，而与交于，所以与平面不垂直，所以④不正确。

故答案为:①②③

【点睛】本题考查了直线与平面,平面与平面平行的判定定理，考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.

三、解答题

15．已知是同一平面内的三个向量，其中．

（1）若，且，求；

（2）若，且与垂直，求实数的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】(1)根据向量平行的相关性质以及、即可得出向量，然后根据向量的模长公式即可得出结果；

(2)首先可根据、写出与的坐标表示，然后根据向量垂直可得，最后通过计算即可得出结果．

【详解】解（1）因为，，

所以，，，

所以．

（2）因为，，所以，．

因为与垂直，所以，

即，．

【点睛】本题考查向量平行以及向量垂直的相关性质，考查向量的坐标表示以及向量的模长公式，若、且，则，考查计算能力，是中档题．

16．一个学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中取得优秀的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中

（1）三科成绩均未取得优秀的概率是多少？

（2）恰有一科成绩取得优秀的概率是多少？

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设事件表示“语文优秀”，事件表示“数学优秀”，事件表示“英语优秀”，则，，，利用相互独立事件概率乘法公式能求出在一次考试中三科成绩均未取得优秀的概率.

（2）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出在一次考试中恰有一科成绩取得优秀的概率.

【详解】解：（1）一个学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中，

设事件表示“语文优秀”，事件表示“数学优秀”，事件表示“英语优秀”，

则，，，

则在一次考试中三科成绩均未取得优秀的概率是：

.

（2）恰有一科成绩取得优秀的概率是：

.

【点睛】本题考查独立事件的概率，考查运算能力，是基础题.

17．的内角的对边分别为，.

（1）求；

（2）若，的面积为，求.

【答案】（1）；（2）8.

【分析】(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；

（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.

【详解】（1）因为，所以，

则，

因为，所以.

（2）因为的面积为，所以，即，

因为，所以，

所以.

【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.

18．在三棱锥中，D，E，F分别为棱AB，CP，AC的中点．

(1)求证∥平面DEF；

(2)若面底面ABC，，为等边三角形，求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由中位线定理结合线面平行的判定证明即可；

（2）由平面PAC得出，，进而得出是二面角的平面角，再由等边三角形的性质得出面面角.

（1）证明：因为E，F分别为CP，CA的中点，所以EF为的中位线，所以，而平面DEF，平面DEF，所以平面DEF；

（2）因为面面ABC，面面，面ABC，，所以平面PAC，而，所以平面PAC，所以，，所以是二面角的平面角．又为等边三角形，所以，又，所以．所以，二面角的大小为．

19．某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）求这50名问卷评分数据的中位数；

（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.

【答案】（1）0.006；（2）76；（3）.

【分析】(1)由频率分布直方图的各小矩形的面积和为1可得：，解之可得答案；

 (2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，列出方程，解之可得答案；

(3)由频率分布直方图可知评分在[ 40，60 )内的人数和评分在[ 50，60 )内的人数，再运用列举法可求得概率.

【详解】(1)由频率分布直方图可得：，解得a=0.006；

 (2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得，解得m=76，

所以这50名问卷评分数据的中位数为76 .

(3)由频率分布直方图可知评分在[ 40，60 )内的人数为 (人)，

评分在[ 50，60 )内的人数为(人)，

设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为，

则在这5人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共有10种情况，

其中分数在在[ 50，60 )内的2人有，，，有3种情况，

所以概率为P=.

【点睛】本题考查频率直方图的识别和计算，以及运用列举法求古典概率的问题，属于中档题.