2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（四）含解析

2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（四）

一、单选题

1．某几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的体积为（    ）

A．6 B．9

C．12 D．15

【答案】A

【解析】由三视图可得几何体为横放着的四棱锥，其底面是边长为2和3的矩形，一条长为3的侧棱垂直于底面，再结合棱锥的体积公式求解即可.

【详解】

解：由三视图可知，几何体为如图所示的横放着的四棱锥，其底面是边长为2和3的矩形，一条长为3的侧棱垂直于底面，

则，

故选：A.

【点睛】

本题考查空间几何体的三视图，由三视图还原几何体是解题的关键，属基础题.

2．已知集合，，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得，,可解除答案.

【详解】

集合，.

,则.

所以.

故选：B

【点睛

本题考查根据两个集合的交集求集合的元素.属于基础题.

3．已知函数，则函数的最大值和周期分别是（    ）

A．， B．，

C．2， D．2，

【答案】A

【解析】由三角函数辅助角公式可得，再结合三角函数最值与周期的求法求解即可.

【详解】

解：由函数，

所以，

又，即，

所以，

又，

即函数的最大值和周期分别是，

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角函数辅助角公式，重点考查了三角函数最值与周期的求法，属基础题.

4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是(    )

A．3 B．9

C．27 D．64

【答案】C

【解析】根据题意，模拟程序的运算情况，即可得出输出的结果，得到答案.

【详解】

由题意，执行如图所示的程序框图，可得：

第一次循环，不满足判断条件；

第二次循环，满足判断条件，

终止循环，输出结果，故选C.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

5．若函数 ，则f(x)

A．在(-2，+ ),内单调递增 B．在(-2，+)内单调递减

C．在(2，+)内单调递增 D．在(2，+)内单调递减

【答案】D

【解析】求出，由时可得结果.

【详解】

由可得

因为或时，，

在和内是减函数，故选D.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数研究函数单调性的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.

6．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先将关于的二次项系数处理为正数，再结合二次不等式的解法求解即可.

【详解】

解:由可得，即，

即不等式的解集是，

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次不等式的解法，属基础题.

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分别将三个幂值进行化简，转化为以2为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性进行判断．

【详解】

解： ，
因为函数在定义域上为单调递增函数，所以．
故选：D．

【点睛】

本题主要考查了指数幂的大小比较，将不同底的指数幂转化为同底的指数幂．然后利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键．

8．下列说法中，正确的是（    ）

A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4

B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半

D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频数

【答案】C

【解析】由众数、标准差、方差的概念及频率分布直方图的相关知识判断即可得解.

【详解】

解：对于选项A，数据5，4，4，3，5，2的众数是4和5，即A错误；

对于选项B，一组数据的标准差是这组数据的方差的平方根，即B错误；

对于选项C，数据2，3，4，5为对应数据4，6，8，10的一半，则数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的四分之一，数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半，即C正确；

对于选项D，频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频率，即D错误，

即说法正确的是选项C，

故选：C.

【点睛】

本题考查了数据的标准差、方差、众数的概念及频率分布直方图，属基础题.

9．表示一个圆，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由表示一个圆，则,代入即可得解.

【详解】

解：因为表示一个圆，

则，即，

即表示一个圆，则的取值范围是，

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆的一般式方程，属基础题.

10．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

则函数的零点所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由函数的图象是连续不断的，且，结合零点定理即可得解.

【详解】

解：由函数的图象是连续不断的，且，

由零点定理可得函数的零点所在的区间是，

故选：C.

【点睛】

本题考查了零点定理，属基础题.

二、填空题

11．使不等式成立的的取值范围是______.

【答案】.

【解析】由指数函数的单调性可得等价于，再求解即可.

【详解】

解：由，解得，即，

即使不等式成立的的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数不等式的解法，属基础题.

12．已知函数的零点在区间，则______.

【答案】2.

【解析】由题意有函数在为增函数，再结合，即可得解.

【详解】

解：由题意有函数在为增函数，

又，，

即，

则函数的零点在区间上，

即2，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，重点考查了函数的零点，属基础题.

13．奇函数的定义域为，满足，则的解集是______．

【答案】

【解析】试题分析：由题意得，因此解得解集是

也可结合图象，可知解集为，本题易漏0这个解，奇函数．

【考点】函数性质

【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.

（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.

14．直线在轴和轴上的截距相等，则实数=__________.

【答案】1或-2

【解析】分析：先分别设解出直线在轴和轴上的截距，当，当，列方程求解。

详解：当，当，直线在轴和轴上的截距相等，所以，解得

点睛：求坐标轴上的截距，只需要即可不用化为截距式求。

15．设数列中，，则通项___________．

【答案】

【解析】∵∴，，

，，，，

将以上各式相加得：

故应填；

【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；

【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；

三、解答题

16．设集合，若A∩B=B，求的取值范围．

【答案】a=1或a≤﹣1

【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．

试题解析：

根据题意，集合A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B是A的子集，

且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，

分4种情况讨论：

①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，即a＜﹣1时，方程无解，满足题意；

②B={0}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0，

则有a+1=0且a2﹣1=0，解可得a=﹣1，

③B={﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，

则有a+1=4且a2﹣1=16，此时无解，

④B={0、﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，

则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，

综合可得：a=1或a≤﹣1．

点睛：A∩B=B则B是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.

17．已知线段的端点的坐标为，端点在圆：上运动.求线段的中点的轨迹.

【答案】以点为圆心，1为半径的圆.

【解析】先设，，由中点公式得，由，

代入运算可得，再化简即可得解.

【详解】

解：设，，则由中点公式得

，解得.

因为点在圆上，

则，

所以，

即.

所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆.

【点睛】

本题考查了曲线与方程，重点考查了运算能力，属基础题.

18．已知等差数列满足，前3项和.

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设的公差为，由已知可得，，再求解即可；

（2）先求出等比数列的公比，再结合等比数列前项和公式求解即可.

【详解】

解：（1）设的公差为，由，前3项和，

则，，

化简得，，

解得，，

故通项公式，

即.

（2）由（1）得，.

设的公比为，则，从而.

故的前项和.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了等比数列前项和公式，属基础题.

19．已知函数.

（1）判断的奇偶性；

 （2）若在是增函数，求实数的范围.

【答案】（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）.

【解析】【详解】

（1）当时，，

对任意，，为偶函数．

当时，，

取，得，

，函数既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）设，

，

要使函数在上为增函数，必须恒成立．

，即恒成立．

又，．的取值范围是．

20．高三年级有500名学生，为了了解数学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

（1）根据上面图表，①②④处的数值分别为______，______，______；

（2）在所给的坐标系中画出的频率分布直方图；

（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在中的概率.

【答案】（1）①1    ②0.025    ④1.000；（2）见解析；（3），.

【解析】（1）先分析频率分布表中的数据，再填表即可；

（2）由频率分布表作频率分布直方图即可；

（3）结合频率分布直方图求平均数及概率即可.

【详解】

解：（1）由频率分布表可得所有组概率之和为1，则④填1.000；

则②填1.000-0.050-0.200-0.300-0.275-0.500=0.025，

由的频率为0.300，频数为12，的频率为0.025，则频数为1，

即①填1，

即①②④处的数值分别为1，0.025，1；

（2）由频率分布表可得频率分布直方图如图.

（3）利用组中值算得平均数为：

；

故总体落在上的概率为.

【点睛】

本题考查了频率分布表及频率分布直方图，重点考查了平均数的运算，属基础题.