2020年1月广东省普通高中学业水平考试模拟卷(三)数学试题含解析

2020年1月广东省普通高中学业水平考试模拟卷(三)数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】B

【解析】【详解】

因为,所以,所以或.

若，则,满足.

若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.

2．复数满足:，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：因为，所以

【考点】复数的运算

3．若函数，则f(f(10)=

A．lg101 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】【详解】

因为，所以.

所以,故选B.

【点评】

对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.

4．公比为等比数列的各项都是正数，且，则(    )

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】由等比数列，，可求解，由，即得解.

【详解】

由等比数列，，

又

故选：A

【点睛】

本题考查了等比数列的通项及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

5．在中，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用向量数量积公式表示，可求出，再用余弦定理表示，即可求出的长度.

【详解】

，

则，.

由余弦定理可知：，.

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的数量积公式，考查余弦定理解三角形，属于基础题.

6．已知，(0, π)，则=

A．1 B． C． D．1

【答案】A

【解析】【详解】

，，

，即，故

故选

7．已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若函数在上是减函数，则这样函数在上单调递增；若函数在上是增函数，则

故选A.【考点定位】本题结合函数的单调性考查充分必要条件的判定，从基础知识出发，通过最简单的指数函数入手，结合熟知的三次函数设计问题，考查了综合解决问题的能力

【详解】

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8．已知矩形．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）

A．存在某个位置，使得直线与直线垂直

B．存在某个位置，使得直线与直线垂直

C．存在某个位置，使得直线与直线垂直

D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直

【答案】B

【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B是正确的

9．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差

【答案】D

【解析】【详解】试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．

B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90

众数分别为88，90，不相等，A错．

平均数86，88不相等，B错．

中位数分别为86，88，不相等，C错

A样本方差=4，标准差S=2，

B样本方差=4，标准差S=2，D正确

【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数

10．对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是

A．相离 B．相切

C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心

【答案】C

【解析】试题分析：过定点，点在圆内，所以直线与圆相交但不过圆心.

【考点】直线与圆的位置关系.

【方法点睛】直线与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系有三种:相切 、 相交 、 相离 ．

（2）判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法

①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式

②几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:．

11．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）

矩形的面积S=x（12-x）＞20

∴x2-12x+20＜0

∴2＜x＜10

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率

【考点】几何概型

12．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是

A．(1－，2) B．(0，2) C．(－1，2) D．(0，1+)

【答案】A

【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.

【考点】简单线性规划解法，数形结合思想

13．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有

所以，所以

又因为，所以，，所以

所以答案选C.

【考点】椭圆的简单几何性质.

14．已知，，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【详解】

，，，，所以，选D.

15．若tan+=4,则sin2=

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.

因为，所以..

【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等

二、填空题

16．函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】要使函数有意义，则必须，解得：，

故函数的定义域为：．

点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．

(7)y＝tan x的定义域为.

17．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.

【答案】

【解析】试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.

【考点】余弦定理及等比数列的定义.

18．过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________.

【答案】

【解析】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所以最短弦长为

【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.

19．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为        .

【答案】

【解析】【详解】

由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.

三、解答题

20．已知，，分别为三个内角，，的对边，．

（）求．

（）若，的面积为，求，．

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

（）由题意利用正弦定理边化角可得，化简可得，则．

（）由题意结合三角形面积公式可得，故，结合余弦定理计算可得，则．

试题解析：

（）∵在中，，

利用正弦定理可得，

化简可得，

即，

∴，

∴．

（）若，的面积为，

则，

∴，

又由余弦定理可得，

∴，

故．

21．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．

（1） 求等差数列的通项公式；

（2）若成等比数列，求数列的前项和

【答案】（1），或.

（2）

【解析】考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算．

（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，

由题意得解得或

所以由等差数列通项公式可得，或.

故，或.

（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；

当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.

故

记数列的前项和为.

当时，；当时，；

当时，

. 当时，满足此式.

综上，

【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.