2020年1月广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷（二）含解析

2020年1月广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷（二）

一、单选题

1．已知向量，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以=（5，7），故选A.

【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.

2．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】利用复数的除法可得，从而得到该复数对应的点在复平面中的位置.

【详解】

因为，故复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第三象限，

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法以及复数的几何意义，前者需要分子分母同乘以分母的共轭复数，后者需要考虑该复数的实部和虚部构成的有序实数对在复平面中的位置，本题属于基础题.

3．公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于（　　）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设公差为d,则由和、、成等比数列知,.

4．已知集合，，若，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】就分类讨论后可得实数的取值范围.

【详解】

当时，，此时，故满足.

当时，，因为，故即.

当时，，此时不成立，

综上，.

故选：C.

【点睛】

本题考查含参数的集合的包含关系，注意对含参数的集合，要优先讨论其为空集或全集的情形，本题属于基础题.

5．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据解析式有意义可得自变量满足的不等式组，其解集即为所求的定义域.

【详解】

由题设可得，解得，故函数的定义域为.

故选：C.

【点睛】

函数的定义域一般从以下几个方面考虑：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次根号（，为偶数）中，；

（3）零的零次方没有意义；

（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

6．．已知直线，平面，给出下列四个命题

①若，则②若，则

②若④若

其中正确命题 的个数是（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】试题分析：对①，若∥，又，所以.又，，正确；

对②，、可以平行，也可以相交，故错；

对③，若，则、有可能平行，也有可能异面，也有可能相交，故错；

对④，若∥，因为，所以.又，所以．正确.

【考点】空间直线与平面的位置关系.

7．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取（    ）名学生.

A．60 B．75 C．90 D．45

【答案】A

【解析】按已有的分层比计算后可得一年级本科生中抽取的学生人数.

【详解】

从一年级本科生中抽取的学生人数为，

故选：A.

【点睛】

本题考查分层抽样，此类问题按比例计算即可，本题属于容易题.

8．在中，，则角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据可得，可设，利用余弦定理求出的值后可得的大小.

【详解】

因为，故，

设，

则，

因为，故.

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，解题中注意把各内角正弦值的比值转化为边的比值，本题属于基础题.

9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．

【考点】三视图与表面积．

10．指数函数的反函数图象过点，则（    ）

A．3 B．2 C．9 D．4

【答案】B

【解析】根据反函数图象过点可得原函数的图象过，代入原函数解析式可求的值.

【详解】

因为反函数图象过点，故原函数的图象过，

所以，故或（舍），

故选：B.

【点睛】

本题考查指数函数解析式的求法，注意原函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，本题属于基础题.

11．若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】利用二倍角的正弦和1的代换可得，齐次化结合可得所求的值.

【详解】

原式

.

故选：C.

【点睛】

三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

12．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式可得，再根据周期公式可求此函数的最小正周期.

【详解】

，

故最小正周期为，

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦型函数的最小正周期，注意利用三角变换把三角函数式化成“一个复合角，一个函数名”的形式，本题属于基础题.

13．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据焦点的位置可得均为正数且，从而可得的取值范围.

【详解】

因为焦点在轴上，故，故.

故选：B.

【点睛】

本题考查焦点在轴上的椭圆的标准方程的特征，一般地，对于椭圆的标准方程，焦点在轴上等价于；焦点在轴上等价于，本题属于基础题.

14．函数的图象 （ ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于直线对称

【答案】A

【解析】分别求出函数的对称中心坐标和对称轴方程，然后对赋整数值得出结果.

【详解】

对于函数，令，得，，

令，得，，

所以，函数的图象的对称中心坐标为，对称轴为直线，

令，可知函数图象的一个对称中心坐标为，故选A.

【点睛】

本题考查三角函数的对称中心和对称轴方程，一般先求出对称中心坐标和对称轴方程通式，然后通过赋值法得到，考查计算能力，属于基础题.

15．函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用零点存在定理判断后可得正确的选项.

【详解】

因为均为上的增函数，

故为上的增函数，故至多有一个零点，.

而，，因为的图象不间断，

由零点存在定理可知在区间有且只有一个零点，

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的零点的位置，注意根据零点存在定理和函数的单调性来判断，在应用零点存在定理判断零点的位置时，需函数的图象是连续不间断，本题属于基础题.

二、填空题

16．从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是        ．

【答案】

【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）六种取法，其中甲被选中有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）三种，所以甲被选中的概率为

【考点】本小题主要考查古典概型概率的求解.

点评：求古典概型概率时，要保证每一个基本事件都是等可能的.

17．若，，且，则的最小值是________.

【答案】16

【解析】试题分析：，当且仅当时取等号

【考点】基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

18．过点与圆相切的直线方程为______________

【答案】

【解析】点满足圆的方程，所以点为切点，

圆的圆心为(0,0)，切点和圆心连线的斜率为：，

所以切线斜率为-1.

方程为：.

故答案为.

19．已知函数是偶函数，当时，，则当，__________．

【答案】

【解析】利用偶函数的性质可求当时的解析式.

【详解】

设，则，故，

因为是偶函数，故，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查偶函数一侧解析式的求法，注意求哪一侧的函数的解析式就设那一侧的自变量为，利用题设条件求出的解析式后再利用偶函数的性质可得指定侧的函数解析式，本题属于基础题.

三、解答题

20．已知函数的图像过点，且关于直线对称.

（1）求的解析式；

（2）若，求函数在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为.

【解析】（1）根据对称轴可得，再根据图象过可求的值，从而得到的解析式.

（2）就、、分类讨论后可得函数相应的值域.

【详解】

（1）图象的对称轴为，所以即.

又图象过，故，故，

所以.

（2）当时，在上为增函数，

而，，故的值域为.

当时，在上为减函数，在为增函数，

故，，故，故的值域为.

当时，在上为减函数，在为增函数，

故，，故，

故的值域为.

综上，当时，值域为；当时，值域为；

当时，值域为.

【点睛】

本题考查二次函数解析式的求法以及二次函数在动区间上的值域，后者需根据区间的端点与对称轴的位置关系来分类讨论，本题属于中档题.

21．设椭圆过点(0,4)，离心率为 .

(1)求椭圆的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；

（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．

【详解】

（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，

由e==，得1﹣=，∴a=5，

∴椭圆C的方程为+=1．

（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），

设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，

由韦达定理得x1+x2=3，

y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．

由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，

∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．