人教版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天专题强化2平抛运动与圆周运动的综合问题学案

这是一份人教版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天专题强化2平抛运动与圆周运动的综合问题学案，共7页。

一、平抛运动与水平面内圆周运动的综合
此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，解题思路是：
(1)分析物体做匀速圆周运动的受力，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)两种运动衔接点的速度是联系前后两个过程的关键物理量。
例1 一光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为74°，圆锥底面的圆心为O′。用一根长为0.5 m的轻绳一端系一质量为0.1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑圆锥顶上O点，O点距地面高度为0.75 m，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。
(1)当小球的角速度为4 rad/s时，求轻绳中的拉力大小。
(2)逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为eq \f(5,3)N时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与O′点间的距离。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
[解析] (1)当小球在圆锥表面上运动时，
据牛顿运动定律可得：
Tsin 37°－FNcs 37°＝mω2Lsin 37°①
Tcs 37°＋FNsin 37°＝mg②
小球刚要离开圆锥表面时，支持力FN为零，求得：
ω0＝5 rad/s T0＝1.25 N
当小球的角速度为4 rad/s时，小球在圆锥表面上运动，
根据公式①②可求得：T1＝1.088 N。
(2)当轻绳断裂时，绳中的拉力大于T0＝1.25 N，故小球已经离开了圆锥表面，设绳子断裂前与竖直方向的夹角为θ。
根据牛顿运动定律可得：
T2sin θ＝meq \f(v2,Lsin θ)，T2cs θ＝mg
求得：θ＝53°，v＝eq \f(4\r(3),3)m/s
轻绳断裂后，小球做平抛运动，此时距离地面的高度为：h＝H－Lcs 53°＝0.45 m
据h＝eq \f(1,2)gt2，求得：t＝0.3 s
如图所示：水平位移为：x＝vt＝eq \f(2\r(3),5)m
抛出点与OO′间的距离为：
y＝Lsin 53°＝0.4 m，eq \r(x2＋y2)＝0.8 m
0．8 m>0.75 m×tan 37°，即小球做平抛运动没有落到圆锥表面上，所以落地点到OO′的距离为0.8 m。
[答案] (1)1.088 N (2)0.8 m
二、平抛运动与竖直面内圆周运动的综合
此类问题有两种类型：一是先做平抛后做圆周运动；二是先做圆周后做平抛运动，解题的关键是：
(1)除了应用平抛和圆周运动相关规律，通常还要结合能量关系分析求解。
(2)竖直面内的圆周运动要明确是“轻绳模型”还是“轻杆模型”，注意应用物体到达圆周最高点的临界条件。
(3)两种运动衔接点处的速度是联系前后两个过程的关键物理量，注意速度方向与圆周的几何关系。
例2 (2020·山东高考模拟)如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，eq \(ON,\s\up6(→))与eq \(OA,\s\up6(→))的夹角为θ(0<θ<π)，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动， 当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，g为重力加速度大小。
(1)求小球初速度的大小v0；
(2)求小球绕钉子做圆周运动的半径r与θ的关系式；
(3)在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点。若能，请求出细线被拉断时θ的值；若不能，请通过计算说明理由。
[解析] (1)设在最高点速度为v1，在最高点，重力恰好提供向心力，所以mg＝eq \f(mv\\al(2,1),L)
根据动能定理，对球从A点到最高点，有
－mg·2L＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得v0＝eq \r(5gL)
(2)以N为圆心，设最低点为M，落到最低点速度为v，有
7mg－mg＝eq \f(mv2,r)
对A到M过程列动能定理
－mgΔh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
Δh＝L－r－(L－r)cs θ
解得r＝eq \f(3＋2cs θ,4＋2cs θ)L
(3)假设能通过A点，则
竖直方向：Δh＝eq \f(1,2)gt2
水平方向：(L－r)sin θ＝vt
解得cs θ＝－eq \f(35,23)，与cs θ∈[－1,1]矛盾，所以假设不成立，不能通过A点。
[答案] (1)eq \r(5gL) (2)eq \f(3＋2cs θ,4＋2cs θ)L (3)不能；理由见解析
〔专题强化训练〕
1．(2021·山西太原模拟)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)( B )
A．eq \f(v2,16g) B．eq \f(v2,8g)
C．eq \f(v2,4g) D．eq \f(v2,2g)
[解析] 设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有：x＝v1t,2R＝eq \f(1,2)gt2，求得x＝eq \r(－16R－\f(v2,8g)2＋\f(v4,4g2))，因此当R－eq \f(v2,8g)＝0，即R＝eq \f(v2,8g)时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。
2．(2021·湖南长沙一中月考)如图所示，b球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，BC为圆周的直径，竖直平台与b球运动轨迹相切于B点且高度为R。当b球运动到切点B时，将a球从切点正上方的A点水平抛出，重力加速度大小为g，从a球水平抛出开始计时，为使b球在运动一周的时间内与a球相遇(a球与水平面接触后不反弹)，则下列说法正确的是( C )
A．a球在C点与b球相遇时，a球的运动时间最短
B．a球在C点与b球相遇时，a球的初始速度最小
C．若a球在C点与b球相遇，则a球抛出时的速率为eq \r(2gR)
D．若a球在C点与b球相遇，则b球做匀速圆周运动的周期为eq \r(\f(2R,g))
[解析] 本题考查平抛运动与圆周运动的结合。a球做平抛运动的时间只取决于竖直高度，高度R不变，运动时间t＝ eq \r(\f(2R,g))不变，故A错误。a球做平抛运动的初速度v＝eq \f(x,t)，a、b两球运动时间相等，在C点相遇时，水平位移最大，则有xmax＝2R，则初始速度最大值vmax＝eq \f(2R,t)＝eq \r(2gR)，故B错误，C正确。在C点相遇时，b球运动半个周期，故b球做匀速圆周运动的周期Tb＝2t＝2 eq \r(\f(2R,g))，故D错误。
3．(2020·湖南月考)如图所示为水上乐园的设施，由弯曲滑道、竖直平面内的圆形滑道、水平滑道及水池组成，圆形滑道外侧半径R＝2 m，圆形滑道的最低点的水平入口B和水平出口B′相互错开，为保证安全，在圆形滑道内运动时，要求紧贴内侧滑行。水离水平滑道高度h＝5 m。现游客从滑道A点由静止滑下，游客可视为质点，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)起滑点A至少离水平滑道多高？
(2)为了保证游客安全，在水池中放有长度L＝5 m的安全气垫MN，其厚度不计，满足(1)的游客恰落在M端，要使游客能安全落在气垫上，安全滑下点A距水平滑道的高度取值范围为多少？
[答案] (1)5 m (2)5 m≤H≤11.25 m
[解析] (1)游客在圆形滑道内侧恰好滑过最高点时，有
mg＝meq \f(v2,R)①
从A到圆形滑道最高点，由机械能守恒定律得
mgH1＝eq \f(1,2)mv2＋mg·2R②
解得H1＝eq \f(5,2)R＝5 m。③
(2)落在M点时抛出速度最小，从A到C由机械能守恒定律得
mgH1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)④
v1＝eq \r(2gH1)＝10 m/s⑤
水平抛出，由平抛运动规律可知
h＝eq \f(1,2)gt2⑥
得t＝1 s
则s1＝v1t＝10 m
落在N点时s2＝s1＋L＝15 m
则对应的抛出速度v2＝eq \f(s2,t)＝15 m/s⑦
由mgH2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)
得H2＝eq \f(v\\al(2,2),2g)＝11.25 m
安全滑下点A距水平滑道高度范围为5 m≤H≤11.25 m。