数学3.1.2 函数的单调性图文课件ppt

课题名

3.1.2 函数的单调性（第1课时）

课标要求

1.理解单调函数定义,理解增函数、减函数定义.

2.能用定义判断函数的单调性.

3.理解函数的单调性并能进行简单应用.

核心目标

1.理解增函数、减函数的概念；（重点）

2.掌握用定义判断函数单调性的方法；（难点）

3.求函数的单调区间.

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

情景引入

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据.数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：

思考1：当时间间隔t逐渐

增大时，你能看出对应的函

数值y有什么变化趋势吗？

通过这个试验，你打算以后

如何对待刚学过的知识?

思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？

新知探究

知识点一  函数单调性的概念

一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D.

(1)  如果对任意,∈I,当<时,都有f()<f(),则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增),如图1所示.

(2)如果对任意,∈I,当<时,都有f()>f(),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图2所示.

两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的

单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).

名师点析

1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.

2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.

核心目标检验

1. 已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)

2. 整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间.

新知探究

知识点二  判断函数单调性的步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤:

(1)任取,∈I,且Δx=->0;

(2)作差:Δy=f()-f();

(3)变形(方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);

(4)定号(即判断Δy的正负);

(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).

核心目标检验

3. 写出下列函数的单调区间：

4. 辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).

(1)函数f(x)＝2,若f(－1)<f(2),则函数在R上是增函数．(　　)

提示：函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是增函数．

(2)函数f(x)＝－2/x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数．(　　)

提示：函数f(x)＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用“并”表示．

(3)函数f(x)在定义域或其某一个子区间上一定有严格的单调性．(　　)

提示：常数函数不具有严格的单调性．

课堂总结

命题讲练

命题方向1：利用图像求函数的单调区间

例题1:1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1，4]上单调递增

C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减

D．函数在区间[－5，5]上没有单调性

【解析】一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．

跟踪练习1:如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(－1，0)       

B．(1，＋∞)

C．(－1，0)∪(1，＋∞)   

D．(－1，0)，(1，＋∞)

【解析】若函数单调递减，则对应图像为下降的，由图像知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞).

命题方向2:判断证明函数的单调性

例题2:(1)证明函数f(x)＝x＋4/x在(2，＋∞)上是增函数．

【思路导引】任取，∈(2，＋∞)，且<⇨f()<f()⇨函数单调递增

【证明】任取，∈(2，＋∞)，且<，

f()－f()＝＋－－＝(－)＋＝(－).

因为2<<，所以－<0，>4，－4>0，

所以f()－f()<0，即f()<f().

所以函数f(x)＝x＋4/x在(2，＋∞)上是增函数．

(2)．有关函数单调性的叙述中，正确的是(　　)

A．y＝－2/x在定义域上为增函数

B．y＝1/x^2+1在[0，＋∞)上为增函数；

C．y＝－3x^2－6x的减区间为[－1，＋∞)

D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数数．

【解析】对于A，y＝－2/x在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以A错误；

对于B，y＝1/x^2+1在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以B错误；

对于C，y＝－3－6x图像是抛物线，对称轴是x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是减函数，所以C正确；

对于D，a>0时，y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0时，y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上是减函数，所以D错误．

利用性质判断函数的单调性

(1)当f(x)＞0时，函数y＝1/f(x)与y＝f(x)的单调性相反，对于f(x)＜0也成立．

(2)在公共定义域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去一个减函数所得的函数为增函数．

(3)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．

(4)当c＞0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c＜0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性．

(5).复合函数单调性的判断如下:

若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f(g(x))为增函数;

若u=g(x),y=f(u)在相应的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f(g(x))为减函数.

复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时递增,相异时递减.

跟踪练习2：(1)函数y＝|x－1|的单调增区间是____________．

【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).

(2) 已知函数f(x)＝.

(1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数；

(2)求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．

【解析】(1)在[1，＋∞)上任取，，设<.

f()－f()＝+1－＝，

因为1≤<，所以＋1>0，＋1>0，－<0，

所以f()－f()<0，

即f()<f()，所以f(x)在[1，＋∞)上为增函数．

(2)由(1)知，函数f(x)在[1，4]上是增函数，当x＝1时有最小值为3/2，当x＝4时有最大值为9/5.

命题方向3:利用单调性求参数取值范围

例题3:1.若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是严格单调减函数，则有(　　)

A．a≥1/2  B．a≤1/2   C．a>1/2  D．a<1/2

【解析】函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是严格单调减函数，则2a－1<0，即a<1/2.

2. 已知函数f(x)＝2x^2－ax－1在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为________．

【解析】因为函数f(x)＝2x^2－ax－1的对称轴为x＝a/4，

又函数在区间(－∞，1]上单调递减，所以a/4≥1，解得a≥4，

所以a的取值范围为[4，＋∞).

3.已知函数f(x)＝2x^2－ax－1的减区间为(－∞，1]上，则a的值为________．

【解析】因为函数f(x)＝2x^2－ax－1的对称轴为x＝a/4，

又减区间为(－∞，1]，所以a/4=1，解得a=4.

4.函数f(x)＝kx^2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递 增，则k的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)     B．(−∞,├2/5]

C．[2/3,+∞)     D．[2/5, +∞)

【解析】当k＝0时，f(x)＝－2x－5在R上单调递减， 不符合题意，

当k≠0时，则有,解得：k≥2/5，

综上所述，k的取值范围是[2/5, +∞).

5.若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．

【解析】由题意，因为f(x)在R上是减函数，

x＜0时f(x)＝x^2－ax＋1，其过定点(0，1)，

且x＜0时是减函数，所以对称轴x＝a/2≥0，①

又因为x≥0时，f(x)＝－x＋3a是减函数，且在R上是减函数，所以3a≤1，②由①②得0≤a≤1/3.

例题3:(1)已知函数f(x)＝x^2－ax的单调递增区间为[1，＋∞)，则实数a的值为________．

(2)  已知函数f(x)＝x^2－ax在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．

(3)  若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　)

A．[1，2]   B．(1/2┤,├ 2]  

C．(1，2]   D．(1/2,2)

命题方向4:利用单调性解函数不等式

例题4:已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，且f(x)在区间[－2，2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围为________．

【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．

【解析】因为f(x)的定义域为[－2，2]，

所以解得－1≤m≤2，

因为f(x)是增函数，所以1－m＜m，所以m＞1/2，

所以1/2＜m≤2.

跟踪练习4:已知f(x)为R上的减函数，则满足f(1/x)<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

     A．(0，1)       B．(－∞，1)

     C．(0，＋∞)    D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

【解析】选A.因为f(x)为R上的减函数，所以由f(1/x)<f(1)得1/x>1，解得0<x<1.

命题方向5: 抽象函数的单调性

例题5:设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒

成立,已知f(2)=1,且当x>1时, f(x)>0.

(1)求f(1/2)的值;

(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明.

思路点拨:抽象函数问题解题的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.

解析　(1)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,

∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.

当x=2,y=1/2时,有f(2×1/2)=f(2)+f(1/2),即f(2)+f(1/2)=0,又f(2)=1,∴f(1/2)=-1.

(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:

任取,∈(0,+∞),且<,则f()+f()=f(),即f()-f()=f().

∵>1,∴f()>0,即f()>f(),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

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一、 

二、 

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