2022临沂兰山区高三上学期开学考试试题数学含解析

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2021-2022学年度第一学期开学考测试高三数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷  选择题（60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据交集的定义运算即得.详解】由已知可得，，所以.故选：C.2. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件.【详解】由命题“，”为真命题，得，所以，所以为该命题的一个必要不充分条件，故选：C.3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由对数的单调性以及中间值法可得,，即可比较大小.【详解】因为,,,故，故选：B4. 已知为正实数且，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 3【答案】D【解析】【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D5. 已知是R上的奇函数，且，当时，，则（    ）A. 3 B.  C. 255 D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由可得，，故是以4为周期的周期函数，故，故选：B6. 某校有2000人参加某次考试，其中数学成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计显示数学成绩80分到100分之间的人数为800人，则此次考试成绩优秀（高于120）的人数占总人数的比例为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题知数学成绩80分到100分之间的人数占比为，进而根据正态分布的对称性求解.【详解】解：因为数学成绩80分到100分之间的人数为800人，所以，数学成绩80分到100分之间的人数占比为，因为数学成绩近似服从正态分布，所以，所以，考试成绩优秀（高于120）的人数占总人数的比例为.故选：D7. 函数的图像在点处的切线方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的图像在点处的切线斜率，即可写出切线方程.【详解】对函数求导，得，所以，即函数的图像在点处的切线斜率为2，所以函数的图像在点处的切线方程为，即.故选：A8. 已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件构造函数，可得在上为增函数，且为奇函数，然后将可转化为，从而可求出不等式的解集.【详解】令，则，因为当时，有，所以当时，，所以在上为增函数，因为为奇函数，所以，所以，所以为R上的奇函数，所以在R上为增函数，由，得，，所以，因为为奇函数，所以，所以，得，所以不等式的解集为，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在的展开式中，下列说法正确的是（    ）A. 不存在常数项 B. 第4项和第5项二项式系数最大C. 第3项的系数最大 D. 所有项的系数和为128【答案】ABC【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.【详解】因为展开式的通项公式为，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，由，可知第项的系数最大，故C正确；令，得所有项的系数和为，故D错误；故选：ABC.10. 某公司2016-2020年的收入与支出情况如下表所示收入（亿元）支出（亿元）根据表中数据可得经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ）A. 该公司支出与收入成正相关B. 该公司收入每增加亿元，支出一定增加亿元C. D. 该公司收入为亿元时支出约为亿元【答案】AD【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，可得回归方程，进而判断各选项.【详解】由已知得，，由回归方程经过样本中心得，解得，C选项错误；回归方程为，所以该公司支出与收入成正相关，A选项正确；该公司收入每增加亿元，支出约增加亿元，为估计值，B选项错误；当时，，所以该公司收入为亿元时支出约为亿元，D选项正确；故选：AD.11. 2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，积极应对人口老龄化，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.假定生男生女是等可能的，现随机选择一个有3个孩子的家庭，则（    ）A. 三个孩子都是男孩的概率为B. 这个家庭有女孩的概率为C. 第一孩是男孩的条件下，第二三孩也是男孩的概率为D. 这个家庭有女孩的条件下，该家庭也有男孩的概率为【答案】CD【解析】【分析】由古典概型计算公式计算即可得出答案.【详解】由题意知：这个家庭3个孩子的全部可能为：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男），共8种;则三个孩子都是男孩的有（男男男）共1种，所以其概率为，A错误；这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共7种，其概率为，B错误；第一孩是男孩的条件下有（男女女）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共4种，第二三孩也是男孩的有（男男男）共1种，其概率为，C正确；这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共7种，其中有男孩的有：（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共6种，其概率为.D正确.故选：CD.12. 已知，则下列结论正确的是（    ）A. 不等式的解集为B. 函数在单调递减，在单调递增C. 函数在定义域上有且仅有两个零点D. 若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是【答案】AB【解析】【分析】对于A，不等式转化为，从而可求出其解集，对于B，对函数求导后，利用导数可求出函数的单调区间，对于C，令直接求解零点，对于D，由选项B可求出函数的值域，从而可求出实数m的取值范围.【详解】对于A，由，得，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，所以A正确，对于B，的定义域为，由，得，令，得或，令，得或，所以在和上递增，在和上递减，所以B正确，对于C，令，得，所以定义域内有且只有一个零点，所以C错误，对于D，由选项B可知在和上递增，在和上递减，因数，，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为，所以若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是，所以D错误，故选：AB第Ⅱ卷  非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某项比赛规则是3局2胜，甲乙两人进行比赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获胜的概率为______.【答案】【解析】【分析】由题可知甲获胜的有两类，和，然后利用独立事件概率公式计算即得.【详解】因为甲获胜的方式有和两种，所以甲获胜的概率为.故答案为：.14. 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除和参加同一科的情况即可得答案.【详解】解：根据题意，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有种情况，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，和参加同一科的有种情况；所以，满足题意的情况共有种.故答案为：15. 袋中有4个红球，m个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为.若取出的两个球都是红球的概率为，则______.【答案】【解析】【分析】由即可求出的值，则可求出，的值，即可求出答案.【详解】由题意知：，所以，，所以 .故答案：16. 若是函数的极值点，则______；的极大值为______.【答案】    ①.     ②. 4e【解析】【分析】根据题意得出，可求得实数的值，然后利用导数可求得函数的极大值.【详解】∵，∴，由题意可得，解得.，，令，得或.列表如下：极小值极大值所以，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为，所以，函数的极大值为.故答案为：；的极大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 某公司推出了一款针对中学生的智能学习软件，为了解学生对该学习软件的满意程度，随机抽取了正在使用软件的200名学生（男生与女生的人数均为100）对学习软件进行评价打分，若评分不低于80分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分低于70分的频率为0.15.
 （1）求a，b的值，并估计这200名学生对该学习软件评分的平均值与中位数；（2）结合频率分布直方图，完成以下列联表，并根据小概率值独立性检验，判断“对该学习软件满意是否与性别有关”.态度  性别满意不满意合计男生40  女生   合计   附：随机变量.0.250.150.100.050.0250.010.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】（1），，平均值80，中位数81.25    （2）表格见解析，该学习软件是否满意与性别有关联【解析】【分析】（1）由评分低于70分的频率为0.15，可求出，再由评分大于70分的频率为0.85，可求出，然后根据平均数的定义可求出平均数，判断出中位在第4组，然后列方程求解即可，（2）根据已知条件和表中的数据完成列联表，再根据公式求出，然后由临界值表判断即可.【小问1详解】由已知得  解得，解得，所以评分的平均值为.因为前3组的频率和，前4组4 频率和，所以中位数在第4组，设中位数为x，则，解得.【小问2详解】由题意可得，列联表如下表：态度性别满意不满意合计男生4060100女生7030100合计11090200假设：对该学习软件是否满意与性别无关联由∵，假设不成立，对该学习软件是否满意与性别有关联，且犯错误的概率不超过0.001.18. 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最大值.【答案】（1）在递增，在递减    （2）时，，时，.【解析】【分析】（1）将代入，对进行求导，进而由的符号求单调区间（2）对进行求导，求出的根，接着讨论根与区间的关系，进而得出最大值【小问1详解】当时，，，，令，解得：；令，解得：；所以在递增，在递减.【小问2详解】由得：，，令，∵，解得，①当时，即时，对恒成立，∴在递减，；②当时，即时，x，，在上的情况如下：x01    递增极大值递减 ∴，综上，时，，时，.19. 某校高三年级有500名学生，一次考试的语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布表如下：数学成绩频率0.160.1680.480.160.032 （1）如果成绩高于130分为特别优秀，则本次考试语文、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？（2）如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式及数据：若，则，，.【答案】（1）语文10人，数学16人    （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可求解语文优秀的人数，根据频率可求数学优秀的人数，（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求分布列和期望.【小问1详解】因为语文成绩服从正态分布，所以语文成绩特别优秀的概率.由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率，所以语文成绩特别优秀的学生大约有（人），数学成绩特别优秀的学生大约有（人）.【小问2详解】语文和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有14人，可取的值有0，1，2，3，所以，，，，故的分布列为0123P 20. 已知函数，（，且），（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）奇函数，理由见解析    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）令，确定函数定义域，并利用定义法判断奇偶性；（2）利用复合函数的单调性性质判断该函数单调性；【小问1详解】令，，的定义域为，，，，是奇函数；【小问2详解】，在上增函数，当时，由复合函数单调性知在上单调递减，当时，由复合函数单调性知在上单调递增.21. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，某科研所研究人员对其繁殖情况进行了研究，发现其繁殖的数量y（单位：个）随时间x（单位：天）的变化情况如下表：表一x123456y5102550100200令，w与y的对应关系如下表表二y5102550100200w1.612.303.223.914.615.30 （1）根据表一画出散点图，并判断用两种模型①②进行拟合，哪种模型更为合适？（给出判断即可，不需要说明理由）；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数）.（3）要使其繁殖数量不超过4000个，预测繁殖天数不超过多少天.参考公式：经验回归方程，其中，参考数据：，，，，，，【答案】（1）作图见解析，选择更为合适    （2）    （3）10天【解析】【分析】（1）首先根据题意画出散点图，再根据散点图求解即可.（2）根据回归直线方程公式求解即可.（3）根据题意得到，再解不等式即可.【小问1详解】由散点图可知应选择更为合适.【小问2详解】由，变换后可得，，设建立w关于x的回归方程，则，，所以w关于x的经验回归方程为.【小问3详解】要使，即，解得.答：繁殖天数不超过10天22. 已知函数.（1）证明：.（2）若函数，若存在使，证明：.【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造，求导后判断函数最大值，得到，即得证；（2）根据题意判断，，将原题转化为证明，构造函数后求导证明即可.【小问1详解】令，，，令，解得：；令，解得：，∴在递增，在递减，则，∴恒成立，即.【小问2详解】∵，，∴，令，解得：；令，解得：；∴在递增，在递减.又∵，，，，且，.要证，即证.∵，∴，又∵，∴只证即可.令，，恒成立，∴在单调递增.又∵，∴，∴，即，∴.【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断，，再转化为证明，根据的单调性可以将其转化为证明，构造函数后利用导数证明不等式即可.