2022苏州高二下学期期末学业质量阳光指标调研（延期）试题（8月）数学含答案
展开苏州市2021~2022学年第二学期学业质量阳光指标调研卷（延期）
高二数学
2022.08
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置，
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为（ ）
A. B. C. D.
4.为研究变量的相关关系，收集得到下列五个样本点：
5 | 7 | 8 | |||
3 | 4 | 6 | 8 | 9 |
若由最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数的周期为3，且当时，.若，则（ ）
A. B.9 C. D.27
6.已知函数若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知盒子中有形状､大小完全相同的五个小球，分别标有数字，现每次从中任意取一个球，取出后不再放回.若取三次，则在前两个小球所标数字之和为偶数的条件下，第三个小球所标数字为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.若，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10.若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，则（ ）
A.在上单调递增
B.在上单调递减
C.在上有2个极值点
D.在上有4个极值点
12.已知函数当时，的取值范围是，则实数的值可以是（ ）
A. B. C.1 D.2
三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.乘积式展开后的项数是__________.
14.已知函数同时满足条件：①；②，.请写出这样的一个函数__________.
15.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的正方形格状道路网（其中虚线部分因施工暂时不通）.今有甲､乙两人，其中甲在M处，乙在N处，他们分别随机选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，同时到达N，M处，则在此过程中，甲､乙两人在A处相遇的概率为__________.
16.已知正实数满足，则的最小值为__________；若不等式对满足条件的恒成立，则实数的取值范围是__________.（本小题第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项.
18.（12分）
已知函数.
（1）判断函数的奇偶性与单调性，并说明理由；
（2）解不等式.
19.（12分）
某医药研究所为研究药物对预防某种病毒的效果，对100只小白鼠进行了试验，得到如下数据：
| 未被感染 | 感染病毒 | 总计 |
接种疫苗 | 45 | 5 | 50 |
未接种疫苗 | 25 | 25 | 50 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
（1）根据小概率值的独立性检验，分析该疫苗是否有效；
（2）若从接种疫苗的50只小白鼠中按分层随机抽样方法（各层按比例分配）取出20只，再从这20只中随机抽取3只，求这3只小白鼠中感染病毒的只数的分布列和数学期望.
参考公式：（其中.
参考数据：.
20.（12分）
已知函数和，其中为常数且.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值.
21.（12分）
某水果基地种植的苹果，按苹果的横径大小（毫米）分为5级：当时为特优级，当时为优级，当时为一级，当时为二级，当时为废果，将特优级果与优级果称为优品果.已知这个基地种植的苹果横径服从正态分布.
（1）从该基地随机抽取1个苹果，求抽出优品果的概率（精确到0.1）；
（2）对该基地的苹果进行随机抽查，每次抽取1个苹果，如果抽出的是优品果，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出优品果为止，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的数学期望值不超过4，根据第（1）小题的结果，求的最大值.
附：若随机变量服从正态分布，则，
参考数据：.
22.已知函数且.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，求函数零点的个数.
苏州市20212022学年第二学期学业质量阳光指标调研卷（延期）
高二数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | A | C | B | B | D | A | D | C |
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | AD | ACD | BD | BC |
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.18 14.（答案不唯一） 15. 16.
四､解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
解：（1）由题意得，
所以.
（2）的展开式通项为，
令，得，所以展开式中的常数项为.
18.（12分）
解：（1）函数为偶函数，.
函数在上单调递减，在上单调递增.
因为函数定义域为，且，
所以函数为偶函数.
当时，，有，
所以函数在上单调递增.
又因为为偶函数，所以函数在上单调递减.
（2）因为函数为偶函数，所以不等式等价于，
又函数在上单调递增，所以，
两边平方得，解得，
故所求不等式的解集为..
19.（12分）
解：（1）零假设为：感染病毒与接种疫苗无关，即疫苗无效.
根据列联表可得.
因为当假设成立时，，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该疫苗有效，此推断犯错误的概率不大于.
（2）从接种疫苗的50只小白鼠中按分层随机抽样方法取出20只，其中末感染病毒的只数为18，感染病毒的只数为2，
则的所有可能取值为.
，
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | |
故随机变量的数学期望为..
20.（12分）
解：（1）当时，，当时，切点为，
因为，切线斜率为，
所以切线方程为，即.
（2）的定义域为的定义域为，
且，
设曲线在点处的切线斜率为1，则，
所以，则，
设曲线在点处的切线斜率为1，则，
所以，则，
直线的斜率，所以，
由于，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
法二（2）设斜率为1的直线为与分别切于
，因为.
因为与切于，所以即
因为与切于，所以，即
所以，
由于，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
21.（12分）
解：（1）因为苹果横径服从正态分布，其中，
且的苹果为优品果，所以抽出优品果的概率
.
（2）由题意第次抽到优品果的概率，
恰好抽取次的概率，
所以，
设，则，
两式相减得
所以，
由，即，
因为数列是单调递减数列，而，
所以的最大值为7.
22.解：（1），
令，得或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数有极小值，无极大值.
（2）由（1）得.因为，
①若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，
极小值，又，
所以函数有1个零点.
②若，则，所以函数单调递增，
此时，所以函数有1个零点.
③若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，显然极小值，
又，所以函数有1个零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为1.
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