高中北师大版 (2019)第二章 函数4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.1 函数的奇偶性图片ppt课件

这是一份高中北师大版 (2019)第二章 函数4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.1 函数的奇偶性图片ppt课件，文件包含第二章41第1课时函数的奇偶性pptx、第二章41第1课时函数的奇偶性docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
2.能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
3.能利用函数的奇偶性解决简单问题.
大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现得淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.
函数奇偶性的概念及判定
问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　这两个函数图象都关于y轴对称.
问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果.
提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有________.
f(－x)＝－f(x)
(1)函数f(x)的定义域为A，对任意x∈A，有－x∈A.说明函数的定义域关于原点对称.若函数的定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的奇偶性分类：奇函数，偶函数，既不是奇函数也不是偶函数，既奇又偶的函数.
　　判断下列函数的奇偶性.
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，显然，－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
(3)f(x)＝x2－x3；
f(x)＝x2－x3的定义域为R，∵f(－1)＝(－1)2－(－1)3＝1＋1＝2，f(1)＝12－13＝0，∴f(－1)≠f(1).∴f(x)不是偶函数，又∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，∴f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数.
(4)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|.
方法一　(定义法)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|的定义域为R，∵f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，∴f(x)＝|x＋2|＋|x－2|是偶函数.方法二　(图象法)函数f(x)的定义域为R，f(x)＝|x＋2|＋|x－2|
画出函数图象如图所示，∵图象关于y轴对称，∴函数f(x)是偶函数.
判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系.(2)图象法.
　　　判断下列函数的奇偶性.
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数.
∵定义域不关于原点对称，
∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，
奇、偶函数的图象及应用
奇偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点对称.(2)偶函数的图象关于y轴对称.
若函数f(x)的图象关于原点或y轴对称，可以判断函数f(x)是奇函数或偶函数.
　　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；
先描出点(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图.
(2)解不等式xf(x)>0.
xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).
延伸探究　把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，(1)画出f(x)的图象；
f(x)的图象如图所示.
xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).
利用奇、偶函数图象的对称性作出函数图象的简图，使问题的求解直观、明白，这是我们处理有关不等式、方程等问题的常见策略.
　　　定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.
(2)比较f(1)与f(3)的大小.
观察图象，知f(3)　　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝______，b＝____.
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____.
令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
f(x)是偶函数，f(g(－1))＝f(f(－1))＝f(f(1))＝f(5)＝81.
1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象及应用. (3)利用奇偶性求值.2.方法归纳：特值法、数形结合法.3.常见误区： (1)判断奇偶性时忽略函数的定义域的对称性. (2)特值法求参数忽略检验.
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.
2.(多选)下面结论不正确的是A.偶函数的图象一定与y轴相交B.奇函数的图象一定通过原点C.偶函数的图象关于y轴对称D.既是奇函数又是偶函数的函数满足f(x)＝0
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交；奇函数的图象不一定通过原点；既是奇函数又是偶函数的函数除了要满足f(x)＝0，还要满足定义域关于原点对称.
A.原点对称 B.y轴对称C.y＝x对称 D.y＝－x对称
4.偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝_____.
偶函数的定义域关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
5.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝____.
由奇函数的定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
1.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为A.0 B.－1 C.1 D.2
∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝a－1＝0，得a＝1.
2.(多选)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A.y＝x2(x>0) B.y＝|x＋1|
根据定义域知A符合，根据奇偶性的定义可知BD符合，C是偶函数.
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点中一定在函数f(x)的图象上的是A.(3，－2) B.(3,2)C.(－3，－2) D.(2，－3)
f(－3)＝2，即点(－3,2)在奇函数的图象上，∴(－3,2)关于原点对称的点(3，－2)必在f(x)的图象上.
4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则函数g(x)＝ax3＋bx2＋cxA.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，则b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数.
5.(多选)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可以为A.－3 B.－1 C.1 D.3
由题意，知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，①当a>0时，f(a)f(－a)＝[f(－a)]2＝(－a－1)2＝4，解得a＝1或a＝－3 (舍去)；
解得a＝－1或a＝3 (舍去)，综上可得，a＝－1或1.
6.已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是_____.
∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的交点也关于y轴对称，若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根的和为0.
∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5]＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3，又g(3)＝f(3)－5＝3，∴f(3)＝8.
8.若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝________；g(x)＝____.
f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
9.判断下列函数的奇偶性：
函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请补充完整函数f(x)的图象；
函数f(x)的图象如图.
(2)求当x>0时，函数f(x)的解析式；
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，故当x>0时，f(x)＝－x2＋2x.
(3)若方程f(x)＝a恰有3个不同的实数解，求实数a的取值范围.
方程f(x)＝a恰有3个不同的实数解，等价于函数y＝f(x)与函数y＝a的图象恰好有3个不同的交点，由(1)中图象，可得－111.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于A.4 B.1C.－1 D.－4
因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝2×02＋2×0＋b＝0，解得b＝0，所以当x≥0时，f(x)＝2x2＋2x，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2×12＋2×1)＝－4.
12.已知函数g(x)＝f(x)－x－1，其中g(x)是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于A.－1 B.1C.－3 D.3
由g(x)＝f(x)－x－1可知，g(2)＝f(2)－2－1＝－2，由于函数g(x)为偶函数，故g(－2)＝f(－2)＋2－1＝－2，所以f(－2)＝－3.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a－b＝－2.
14.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)<0；
其中一定正确的为________.(填序号)
∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确.f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确.当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确.
15.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为_____.
奇函数的定义域关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；
f(x)的定义域为R.由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得，f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数.