高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程教案配套ppt课件

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第2课时　圆的标准方程的综合应用
第一章　2.1　圆的标准方程
学习目标
1.掌握利用待定系数法、几何法求圆的标准方程.
2.掌握圆的一些简单的几何性质.
内容索引
待定系数法求圆的标准方程

一
　　已知圆P过点A(1,0)，B(4,0).若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程.
设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
延伸探究　本例中“圆P过点C(6，－2)”改为“圆心P的纵坐标为2”，求圆P的标准方程.
根据条件设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可.
反思感悟
　　　在平面直角坐标系中，经过(0,0)，(－2，0)，(0，－4)三点的圆的标准方程为___________________，其半径为______.
(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
几何法求圆的标准方程

二
　　在：①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程；若问题中的圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q，且点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？
因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在直线AB的垂直平分线上，又直线AB的方程为y＝－1，
若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上.
若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上.由圆心在直线2x－y＝0上，
则b＝－1，
即存在圆Q，
反思感悟
求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，可以根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径：(1)圆心在弦的垂直平分线上；(2)过圆心的直线平分圆；(3)圆与x轴相切时，r＝|b|，圆与y轴相切时，r＝|a|.
所以线段AB的中垂线方程为y＝－x＋3，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝16.
圆的简单几何性质

三
问题1　对于圆x2＋y2＝2，该圆上任意一点P(x，y)的x与y应满足的条件是什么？
问题2　对于圆x2＋y2＝2上的任意一点P(x，y)，关于原点的对称点(－x，－y)，关于x轴的对称点(x，－y)，关于y轴的对称点(－x，y)是否在该圆上？
提示　在圆上.
知识梳理
圆x2＋y2＝r2的简单几何性质(1)范围：|x|≤r，|y|≤r.(2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.
　　(1)若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于A.3 　　　B.2 　　　C.5 　　　 D.1
由题意可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.
√
反思感悟
(1)对于圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的范围是|x－a|≤r，|y－b|≤r.(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的对称轴经过圆心(a，b).
　　　若圆(x－1)2＋(y－1)2＝3关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是A.2 　　　B.－2　　　 C.1 　　　D.－1
∵圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，∴k＝－2.
√
课堂小结
1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)圆的简单几何性质.2.方法归纳：几何法、待定系数法.3.常见误区：不能正确的应用圆的几何性质而致误.
随堂演练

1.以点A(－3,4)为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为A.(x＋3)2＋(y－4)2＝16 B.(x－3)2＋(y＋4)2＝16C.(x＋3)2＋(y－4)2＝9 D.(x－3)2＋(y＋4)2＝9
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以点A(－3,4)为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－4)2＝9.
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2.过点A(0,0)，B(2,2)且圆心在直线y＝2x－4上的圆的标准方程为A.(x－2)2＋y2＝4B.(x＋2)2＋y2＝4C.(x－4)2＋(y－4)2＝8D.(x＋4)2＋(y－4)2＝8
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设圆心为C(a,2a－4)，
整理可得a－2＝0，解得a＝2，所以圆心C(2,0)，所求圆的半径为|AC|＝2，因此，所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
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3.已知直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，则直线l的方程是_____________.
x－y＋3＝0
因为直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，所以直线l过圆心(0,3)，斜率为1，即直线l的方程是x－y＋3＝0.
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4.过三点A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圆的方程为___________________.
(x－2)2＋(y－1)2＝25
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
课时对点练

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1.圆心在y轴上，半径长为　 ，且过点(1，－2)的圆的方程为A.x2＋(y＋1)2＝2B.x2＋(y－3)2＝2C.x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2D.x2＋(y－1)2＝2或x2＋(y－3)2＝2
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设圆心为(0，a)，则圆的方程为x2＋(y－a)2＝2，将点(1，－2)代入圆的方程得12＋(－2－a)2＝2，解得a＝－1或a＝－3，所以圆的方程为x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2.
2.方程(x－1)　　　　　＝0所表示的曲线是A.一个圆 B.两个点C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆
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因此表示一条直线和一个圆.
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因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9.
3.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于A.9 　　　B.－9 　　　 C.1 　　　D.－1
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4.圆心在直线2x＋y＝0上，并且经过点A(1,3)和B(4，2)的圆的半径为A.3 　　　B.4 　　　 C.5 　　　D.6
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设圆心坐标为(a，b)，
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∵△ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上，即直线x＝2上，可设圆心P(2，p)，由|PA|＝|PB|得
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6.已知圆C过点(0,1)，(－2,3)且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为A.(x＋3)2＋y2＝10 B.(x－3)2＋y2＝10C.(x＋4)2＋y2＝10 D.(x－4)2＋y2＝10
√
设圆C的圆心C(m,0)，m<0，半径为r，
所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋y2＝10.
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7.已知点A(1,6)，B(－5,2)，C(1，k)，若C点在以AB为直径的圆外，则k的取值范围是______________________.
(－∞，2)∪(6，＋∞)
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因为点A(1,6)，B(－5,2)，则以AB为直径的圆的圆心坐标为(－2,4)，
所以圆的方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝13，因为点C(1，k)在以AB为直径的圆外，所以(1＋2)2＋(k－4)2>13，解得k>6或k<2.故k的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞).
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8.已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为______.
∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.由y∈[－1,1]，∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
－4
9.已知A(0,1)，B(2,1)，C(－1,2)，这三点能否确定一个圆？若能，判断D(3,4)与该圆的位置关系.
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由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆.设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5，把点D的坐标(3,4)代入圆的方程，得左边＝(3－1)2＋(4－3)2＝5＝右边，所以点D在经过A，B，C三点的圆上.
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10.已知圆C经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上.(1)求圆C的标准方程；
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依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点.∵AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，∴AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
即圆心C(－3,6).
故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
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(2)设点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积.
∵点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，∴m＝12或m＝0(舍去)，∴Q(－1,12)，|AQ|＝12，直线AQ的方程为x＝－1，点B到直线AQ的距离为4，
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11.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4π
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圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
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12.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为A.4 　　　 B.5　　　 C.8　　　 D.9
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根据题意，得A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，A中共有9个元素.
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13.圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1，3)，则圆C的方程为____________________，若M(m，　)在圆C内，m的取值范围为________.
(x－2)2＋y2＝10
(0,4)
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设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，所以a＝2，
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10，
解得01
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14.经点P(2，－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB，使点P平分AB，则弦AB所在的直线方程是________________.
2x－3y－13＝0
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设圆x2＋y2＝20的圆心为O，则O(0,0).由P是AB的中点，知AB⊥OP.因为22＋(－3)2＝13<20，
整理可得，2x－3y－13＝0.
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15.对于圆x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则m的取值范围是A.(　 ，＋∞) B.[　 ，＋∞)C.(－1，＋∞) D.[－1，＋∞)
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设x＝cos α，y＝sin α，则x＋y＋m＝cos α＋sin α＋m≥0，
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(1)求圆弧所在的圆的标准方程；
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∵所求圆的圆心在y轴上，∴设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)，
∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36.
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(2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
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设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(图略)，则|CP|＝h＋0.5.
得y＝2或y＝－8(舍去).∴h＝|CP|－0.5＝2＋2－0.5＝3.5(m).故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m.