高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质背景图课件ppt

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第2课时　双曲线的简单几何性质(二)
第二章　2.2　双曲线的简单几何性质
学习目标
1.掌握求双曲线离心率的方法.
2.会解决与渐近线有关的问题.
3.进一步熟悉求双曲线标准方程的方法.
内容索引
离心率

一
√
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝ 得解.(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
反思感悟
　　　已知F1，F2是双曲线　　　＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率.
设F1(－c,0)，
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
所以c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，
渐近线

二
　　如图所示，已知F1，F2为双曲线　　　＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为___________.
设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|. ①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a， ②由①②得|PF2|＝2a.
反思感悟
(2)双曲线的焦点三角形相关的问题往往是将三角形的相关知识，如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，与双曲线的相关知识相结合构造出的问题，要想总结对应的解题思路与方法，可从以上知识入手.
√
由题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，F(c,0)，
所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.
双曲线方程的设法

三
　　求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程，解得λ＝－32.
(2)与双曲线　　　＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
得λ＝－2.
(3)过点(2,0)，与双曲线　　　 ＝1的离心率相等；
因为椭圆焦点在x轴上，
解得λ＝21.
反思感悟
巧设双曲线方程的方法(1)当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0).(2)常见双曲线方程的设法.①渐近线为y＝　　的双曲线方程可设为　　　＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0).
反思感悟
√
因为双曲线一个焦点的坐标为F(0,2)，所以c＝2.
课堂小结
1.知识清单： (1)离心率. (2)渐近线. (3)求双曲线方程.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：设双曲线方程未考虑到参数的取值范围而致错.
随堂演练

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所以3b＝4a，所以9(c2－a2)＝16a2，
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3.设双曲线的渐近线方程为y＝± x，则该双曲线的离心率e＝________.
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所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.
课时对点练

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渐近线方程为x±2y＝0，
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2.如图，双曲线C：　　 ＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是A.3 　　　B.4　　　 C.6 　　　D.8
√
设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
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将点(2,2)代入求得λ＝3，
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4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
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因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
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不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|·cos 30°，
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由题意知，若曲线C为双曲线，
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；∵m2>0，故C正确；
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－6或12
解得n＝12；
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8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________.
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由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
可得e4－6e2＋1＝0，
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又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，
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即bx＋ay－ab＝0，
两边平方得16a2b2＝3c4，所以16a2(c2－a2)＝3c4，即3c4－16a2c2＋16a4＝0，即3e4－16e2＋16＝0，
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故e2＝4，所以e＝2.
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11.(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为
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方法一　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示.
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同理，当双曲线的焦点在y轴上时，
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方法二　根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
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所以该双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，
又因为△AFO的面积为1，
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如图，不妨设A在第一象限，
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(2，＋∞)
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设双曲线右支上任意一点坐标为(x，y)，则x≥a，∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，
又∵双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点，即顶点到中心和右焦点的距离相等，∴e≠2，故e>2.
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所以渐近线方程为y＝±x，所以a＝b.因为顶点到一条渐近线的距离为1，
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焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
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P为双曲线右支上的任意一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
即当|PF2|＝2a时取等号，所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
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所以e∈(1,3].
因为|PF1|－|PF2|＝2a