新教材北师大版步步高学习笔记必修一第二章 章末复习课【学案+同步课件】

一、求函数的定义域、值域

1．定义域：关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义；抽象函数的定义域一般用代入法求解．

2．值域：首先考查函数类型，再确定函数在定义域上的单调性，最后计算最值．解题过程中要灵活应用换元法、配方法等方法，含字母的要分情况讨论．

3．掌握基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学运算素养．

例1　(1)函数y＝＋的定义域为(　　)

A.   B.

C.   D.∪(0，＋∞)

答案　B

解析　由解得－≤x≤，

所以函数y＝＋的定义域为.

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是(　　)

A．[－4,4]   B．[－4,2]

C．[－4，－2]   D．[2,4]

答案　B

解析　由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2.

所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4,2]．

(3)函数y＝的值域为___________．

答案　(－1,1]

解析　因为y＝＝－1＋，

又函数的定义域为R，

所以x2＋1≥1，

所以0<≤2，

则y∈(－1,1]．

反思感悟　求函数的定义域，始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值范围；求函数的值域，别忘了定义域优先的原则．另外，定义域、值域一定要写成集合或区间的形式．

跟踪训练1 　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　)

A.   B.

C.   D.∪

答案　D

解析　由题意得解得x<1且x≠.

(2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　)

A.   B.

C．[0,1]   D.

答案　C

解析　由－1≤x≤2，得－2≤x－1≤1，

所以－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1.

二、分段函数

1．分段函数的画图、求单调区间、求值域或最值、求解析式等问题的解决均可用四个字概括——分段处理．

2．分段函数的求值、奇偶性判断，要严格按分段函数的含义及奇偶性的定义来处理．

3．掌握基本函数求值运算，会画简单函数的图象，提升数学运算和直观想象素养．

例2　已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解　(1)设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，

又f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

∴m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)，知

∴1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3]．

反思感悟　已知函数的奇偶性求参数值，可利用奇偶函数的定义求解．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．－3≤a<0   B．a≤－2

C．－3≤a≤－2   D．a<0

答案　C

解析　因为函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a满足

解得即－3≤a≤－2.

三、函数的性质及应用

1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点题型，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响．

2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．

例3　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求函数f(x)在R上的解析式；

(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；

(3)若关于x的方程f(x)＝2a＋1有三个不同的解，求a的取值范围．

解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，

则f(0)＝0.

当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)．

所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.

综上，f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．

(3)因为方程f(x)＝2a＋1有三个不同的解，

所以－1<2a＋1<1，

所以－1<a<0.

反思感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.

(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．

解　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴＝－＝.

比较得n＝－n，n＝0.

又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.

∴实数m和n的值分别是2和0.

(2)由(1)知f(x)＝＝＋

＝.

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)

＝(x1－x2)·.

∵－2≤x1<x2≤－1，

∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增．

∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.

四、函数图象的画法及应用

1．画函数的图象，可以用描点法，也可以用变换法，要注意利用函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图．

2.利用函数的图象可以直观地求出函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．

3．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和逻辑推理素养．

例4　在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

答案　－

解析　函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.

反思感悟　函数图象可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．

跟踪训练4　已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(－1)；

(2)求f(x)的解析式；

(3)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．

解　(1)由于函数f(x)是R上的奇函数，所以对任意的x都有f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.

(2)设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2，又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因此f(x)＝x2＋2x－2，

又因为f(0)＝0，

所以f(x)＝

(3)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示．

由图可知，其单调递增区间为[－1，1]，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．