新教材北师大版步步高学习笔记必修一第三章 章末复习课【学案+同步课件】

一、指数幂的运算

1．掌握指数幂的运算性质，会利用指数幂的运算性质化简、求值．

2．掌握基本的运算性质，重点提升数学运算素养．

例1　计算下列各式的值(式中字母都是正数)：

(1)×0＋80.25×＋(×)6；

(2)2÷(4)·3.

解　(1)原式＝22×33＝112.

(2)原式＝

＝

＝.

反思感悟　指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂再运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．

跟踪训练1　化简：(a>0，b>0)．

解　原式＝

＝

＝

＝

＝ab－1.

二、指数函数的图象及应用

1．指数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断函数图象的交点个数问题．

2．掌握指数函数图象的作法及简单的图象平移、翻折变换，提升直观想象、逻辑推理等数学素养．

例2　(1)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　)

A.，，，   B.，，，

C.，，，   D.，，，

答案　C

解析　直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>.

(2)方程|ax－1|－2a＋1＝0(a>0，a≠1)有两个根，则a的取值范围是________．

答案　

解析　将方程变形为|ax－1|＋1＝2a，

方程|ax－1|＋1＝2a有两个根等价于直线y＝2a和函数y＝|ax－1|＋1的图象有两个公共点．

当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图①所示的图象，则由图可知1<2a<2，即<a<1，与a>1矛盾；

当0<a<1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图②所示的图象，则由图可知1<2a<2，即<a<1.

综上可知，<a<1.

反思感悟　指数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．

跟踪训练2　定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)

答案　A

解析　∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，

∴f(x)＝1⊕2x＝

三、指数函数的性质及应用

1．以函数的性质为依托，利用指数函数的性质进行大小比较、解方程和不等式等．

2．掌握指数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．

例3　(1)若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．

答案　b<a<c

解析　因为－1<x<0，所以由指数函数的图象和性质可得2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b<a<c.

(2)函数y＝的值域是________．

答案　

解析　设t＝－x2＋2x＝－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，

∴t≤1，

∵t≥1＝，

∴函数的值域为.

反思感悟　要熟练掌握指数函数的图象和性质、方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论．同时要注意变量本身的取值范围，以免出现增根，比较大小可直接利用单调性或找中间值．

跟踪训练3　已知指数函数y＝f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围．

解　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，

又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，

所以g(x)＝x，

因此由g(2x－1)<g(3x)，

即2x－1<3x，

得2x－1>3x，解得x<－1.

所以x的取值范围为(－∞，－1)．