数学选择性必修 第一册1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系说课课件ppt

这是一份数学选择性必修 第一册1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系说课课件ppt，文件包含第一章1112第2课时直线的斜率与倾斜角方向向量的关系pptx、第一章1112第2课时直线的斜率与倾斜角方向向量的关系docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.
2.了解直线的方向向量.
3.会应用倾斜角与斜率的关系解决一些简单的综合问题.
同学们，通过上节课的学习，我们知道，直线的倾斜角和斜率是从不同的角度刻画了直线的方向以及倾斜程度，它们之间是否具有某种联系呢！这是我们本节课要解决的内容.
问题1　直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？
提示　k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π).
问题2　如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？
提示　过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，
而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，
问题3　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？
提示　如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.
2.斜率k与倾斜角α有如下关系：当α∈ 时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而 ；当α∈ 时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而 .当α＝ 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率 .
　　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.
要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
延伸探究　1.本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
2.本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围.
由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为－1解决取值范围问题的基本方法——数形结合斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.如图所示，过点P的直线l与
线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置.
　　　已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1，1)，C(2，　＋1).(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°.
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.
如图所示，当直线CD绕点C旋转时，斜率k变化，当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，
直线的斜率与方向向量的关系
问题4　什么是直线的方向向量？
提示　直线上的向量及与之平行的非零向量.
问题5　已知直线l上两点A(1,2)，B(－1,3).你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1,2)，B(1,3)呢？
1.在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量 是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量　　 之间的关系是 .2.若k是直线l的斜率，则v＝ 是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝ .
(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cs θ，sin θ)(θ为倾斜角).
　　已知直线l的一个方向向量为(5,8)，且该直线过点(1,2)，则直线l过点A.(6,10) B.(4,8)C.(2,4) D.
因为直线l的一个方向向量为(5,8)，
若直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，则当u＝0时，直线l的斜率不存在；
　　　已知直线l的斜率为 　，求直线l的模长为1的方向向量.
设直线l的方向向量为b＝(x，y)，
∵|b|＝1，∴x2＋y2＝1.②
斜率与倾斜角、方向向量的综合应用
　　已知直线l1的方向向量为n＝(2,1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍.(1)求直线l2的斜率；
设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α.∵直线l1的方向向量为n＝(2,1)，
(2)若直线l2经过点A(－1,2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点.求的取值范围.
　　　若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________.
∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，
∴(a－1)(a＋2)<0，解得－21.知识清单： (1)直线的倾斜角与斜率的关系. (2)直线的方向向量.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误.
1.若直线过点(1,3)，(－2,3－　 )，则此直线的倾斜角是A.30° 　　B.45° 　　 C.60° 　　D.90°
2.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为A.(0,1) B.(－1,0)C.(3,0) D.(0，－3)
若设点P的坐标为P(x,0)，
∴x＝3，即P(3,0).若设点P的坐标为P(0，y)，
∴y＝－3，即P(0，－3).
3.过两点A(1，y)，B(2，－3)的直线的方向向量为(1，－1)，则y的值为A.2 　　　B.－2　　　 C.－5 　　　 D.5
∴－3－y＝－1，∴y＝－2.
{k|k≤－1或k≥1}
1.若两直线l1，l2的倾斜角分别为α与β，斜率分别是k1与k2，则下列四个结论中正确的是A.若α<β，则k1当k1<0β，所以C不正确；当k1＝k2时，α＝β，所以D正确.
2.过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，则y等于A.1　　　 B.5 　　　 C.－1 　　　 D.－5
因为过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，
3.过点M(－2，a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1)，则a的值为A.1 　　　B.4　　　 C.1或3 　　　D.1或4
4.已知直线l的斜率的绝对值等于　 ，则直线l的倾斜角为A.60° B.30°C.60°或120° D.30°或150°
设直线l的倾斜角为α，
∴α＝60°或120°.
5.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有A.k1设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图可知，α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<06.在y轴上有一点M，它与点(　　，1)连成的直线的倾斜角为60°，则点M的坐标为A.(0,4) 　　B.(0,2) 　　C.(2,0) 　　D.(1,0)
得a＝4，∴M(0,4).
7.设直线l的斜率为k，且－1因为直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π)，
8.已知点A(1,0)，B(2，　)，C(m,2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为_______________________.
∴直线AB的倾斜角为60°，则直线AC的倾斜角为120°.
9.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角θ为锐角；
若直线MN的倾斜角θ为锐角，则k＝tan θ>0，
即(m＋2)(m－4)<0，解得－2(2)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 022)，求m的值.
直线MN的方向向量为a＝(0，－2 022)，∴直线MN的斜率不存在.故M，N两点的直线垂直于x轴.∴m＋3＝2m－1，即m＝4.
如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，
故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°.结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.
11.(多选)以下四个命题错误的是A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应C.坐标平面上所有的直线都有倾斜角D.坐标平面上所有直线都有斜率
任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，当倾斜角为90°时，斜率不存在.
12.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为A.0 　　　B.1　　　 C. 　　　D.2
由直线l过点(1,2)，且不过第四象限，作出图象，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线过A(1,2)，O(0，0)时，直线的斜率取最大值kmax＝2，∴直线l的斜率的最大值为2.
由直线的斜率公式、基本不等式得
15.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率为______.
设直线l2的倾斜角为α2，如图所示，则由题意知180°－α2＋15°＝60°，∴α2＝135°，k2＝tan α2＝－tan 45°＝－1.