新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第三章 §2 第2课时　空间向量的数量积

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第2课时　空间向量的数量积
第三章　 §2　空间向量与向量运算
学习目标
1.了解空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解投影向量以及投影数量的概念.
4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.
导语
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
内容索引
空间向量的夹角及数量积

一
1.两个向量的夹角
知识梳理
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
⊥
2.两个向量的数量积(1)空间向量的数量积已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝ .
|a||b|cos〈a，b〉
0
(2)运算律
b·a
a·b＋a·c
λ(a·b)
　　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
反思感悟
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
　　　(1)(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有A.a2＝|a|2
C.(a·b)2＝a2·b2D.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
√
√
由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2·cos 2〈a，b〉≠|a|2·|b|2＝a2·b2，C不正确.
(2)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为_______.
－13
∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
投影向量与投影数量

二
知识梳理
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作　　　　　　　，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于 ，当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉>0(如图(1))；当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉<0(如图(2))；当〈a，b〉＝ 时，|b|cos〈a，b〉＝0(如图(3)).
||b|·cos〈a，b〉|
若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为　　＝ .因此，称 为投影向量　　的数量，也称为向量b在向量a方向上的投影数量.向量b在向量a方向上的投影数量为 ＝ ＝a0·b.
|b|cos〈a，b〉a0
|b|cos〈a，b〉
|b|cos〈a，b〉
(1)投影数量可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的.(2)投影数量不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影数量才是投影向量的模.
注意点：
－2e
∵平面PAB⊥平面PBC，BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴CB⊥AB，又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
1
∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b
(2)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为____.
反思感悟
(1)求投影向量的方法①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量.②首先根据题意确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算.
　　　(1)已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量为 ，则a·b＝____.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为________.
空间向量数量积的运算

三
(2)求MN的长度.
反思感悟
求向量的夹角和模
A.30° 　　　B.60°　　　 C.90°　　　 D.120°
√
(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为_____.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
课堂小结
1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量和投影数量. (2)空间向量数量积、性质及运算.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：数量积的符号由夹角的余弦值决定.
随堂演练

1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
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在等边△ABC中，因为∠A＝60°，
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3.若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝____.
|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.
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60°
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方法一　连接A1D(图略)，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
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方法二　根据向量的线性运算可得
课时对点练

1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于A.12 B.8＋C.4 D.13
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(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°
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2.(多选)若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中，不成立的是A.|a＋b|＝|b－a| B.(a＋b)·c＝a·(b＋c)C.λ(a＋b)＝λa＋λb D.b＝λa
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由向量加法的平行四边形法则知，只有a⊥b，即a·b＝0时，有|a＋b|＝|b－a|，A不成立；由数量积的运算律有(a＋b)·c＝a·c＋b·c，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，a·b与b·c不一定相等，B不成立；由向量数乘法则知，C一定成立；只有a，b共线且a≠0时，才存在λ，使得b＝λa，D不成立.
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3.若向量a，b满足|a|＝2，(a＋2b)·a＝6，则b在a方向上的投影数量为
(a＋2b)·a＝a2＋2a·b
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4.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是A.60° 　　 B.120° 　　C.30°　　　D.90°
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∴〈a，b〉＝120°.
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5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于
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6.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是
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|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
7.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝_____.
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8.已知a，b两个向量，|a|＝4，|b|＝3，sin〈a，b〉＝ ，则a在b方向上的投影向量为__________，投影数量为_______.
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9.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
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如图所示，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
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＝22－22＝0.
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(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长.
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由题设条件知，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝5，
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12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点.则EG的长度为
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则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
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∵OA，OB，OC两两垂直，
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14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则　　　 的取值范围是________.
[0,1]
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15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则　　　　(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为A.8 　　　B.4　　　 C.2 　　　D.1
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∵AB⊥平面BP2P8P6，
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16.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离.
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在平行四边形ABCD中，∵∠ACD＝90°，
在空间四边形ABCD中，∵AB与CD成60°角，
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此时B，D两点间的距离为2，