高中北师大版 (2019)4.1 二项式定理的推导备课课件ppt

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1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
艾萨克·牛顿Isaac Newtn(1643－1727)英国科学家.他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？
问题1　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示　从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式.
问题2　你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
二项式定理(a＋b)n＝____________________________________________，可以简写成(a＋b)n＝ .
(1)这个公式称为二项式定理.(2)展开式：等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有_____项.(3)二项式系数：各项的系数 (k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数.(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第_____项称为二项式通项，记作Tk＋1＝________.
(1)每一项中a与b的指数和为n；(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止；(3)a与b的位置若交换，展开式形式变化；(4) 表示的是第(k＋1)项；(5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可合并化为两项后再解决问题.
求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
二项展开式的通项的应用
第6项的系数为－12.
设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则
令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，
当9－2k＝3时，解得k＝3，
(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第k项，Tk＝ ；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
(1)第3项的二项式系数及系数；
所以第3项的系数为240.
令3－k＝2，解得k＝1，所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
1.知识清单： (1)二项式展开式的形成过程. (2)二项式定理的正用与逆用. (3)二项展开式的通项的应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：二项式系数与系数的区别， 是展开式的第k＋1项.
1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是A.2n B.2n＋1C.2n－1 D.2(n＋1)
展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.
A.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4
令7－2k＝－1，∴2k＝8，k＝4，
4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为_____.
1.(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于A.9 B.10 C.11 D.8
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.
A.60 B.－60 C.250 D.－250
A.840 B.－840 C.210 D.－210
A.32 B.－32C.1 024 D.512
5.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是A.－5 B.5 C.－10 D.10
故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
A.存在n∈N＋，展开式中有常数项B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
由通项可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项，故选AD.
7.若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝______.
8.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9.
设第k＋1项含x3项，
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，因为n<15，所以n＝14.
(2)写出它展开式中的所有有理项.
展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，又0≤k≤14，k∈N，所以展开式中的有理项共3项，分别是
11.对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为A.3 B.6 C.9 D.21
A.4 B.5 C.6 D.7
∴正整数n的最小值为5.
令7－2k＝－3，得k＝5.
(1)n的值为_____；
(2)含x的整数次幂的项有____个.
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
15.(a＋b＋c)n(n∈N＋)的展开式中的项数为____________.
16.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.因为h(x)的展开式中x的项的系数为12，
即m＋2n＝12，所以m＝12－2n.