新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第六章 习题课　离散型随机变量及其分布列

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习题课　离散型随机变量及其分布列
第六章　概率
学习目标
1.掌握离散型随机变量的分布列.
2.掌握离散型随机变量的均值与方差的概念.
3.能区分二项分布、超几何分布.
导语
前面学习了离散型随机变量的均值、方差、二项分布、超几何分布等知识点，这节课我们来看一看它们的应用.
内容索引
二项分布与超几何分布的区别

一
　　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图，求抽取的40件产品中重量超过505克的产品数量；
重量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以重量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布.
∴X的分布列为
∴X的均值为
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
∴Y的分布列为
反思感悟
不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算.
　　　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
方法一　由题意知X的可能取值为0,1,2.
∴随机变量X的分布列为
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差

二
X的可能取值为0,1,2.设该学生第一次、第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次、第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，
所以X的分布列为
反思感悟
若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率.
　　　某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知A，D两辆汽车每天出车的概率为 ，B，C两辆汽车每天出车的概率为 ，且四辆汽车是否出车是相互独立的.
该公司所在地区汽车限行规定如下：
(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；
(2)设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和均值.
由题意，X的可能值为0,1,2,3,4.
所以X的分布列为
与统计有关的分布列的均值

三
　　第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口市举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？
记恰好2名学生都是优秀的事件为A，
(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与均值.
故X的分布列为
反思感悟
求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解.
　　　为了解游客对 “十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄(单位：岁)在[22,52]内的游客中随机抽取了1 000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图所示，
同时对这1 000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表：
(1)求统计表中m和n的值；
根据题意可得，年龄在[37,42)内的频率为1－(0.01＋0.02×2＋0.03×2)×5＝0.45，故年龄在[37,42)内的人数为450，
年龄在[27,32)内的人数为1 000×0.02×5＝100，故n＝100×0.95＝95.
(2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X，求X的分布列和均值.
因为年龄在[42,47)内且满意的人数为144，年龄在[47,52]内且满意的人数为96，因此采用分层随机抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意的人数分别为6,4.依题意可得X＝0,1,2,3,4.
X的分布列为
课堂小结
1.知识清单： (1)离散型随机变量的分布列、均值、方差. (2)二项分布、超几何分布.2.方法归纳：放回和不放回抽样.3.常见误区：二项分布和超几何分布判断错误.
随堂演练

1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是A.np(1－p) B.npC.n D.p(1－p)
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用电单位的个数X～B(n，p)，∴EX＝np.
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2.若随机变量X的分布列如下表所示，则EX等于
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3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
若以频率视为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为
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4.已知离散型随机变量X的分布列为
则DX的值为
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课时对点练

1.若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于A.0.665 B.0.008 56C.0.918 54 D.0.991 44
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2.已知随机变量X的分布列为
设Y＝2X＋3，则DY等于
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4.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值EX等于A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
√
由题意可知X服从超几何分布，
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在A中，P(X＝1)＝EX，故A正确；
6.(多选)已知随机变量X的分布列如下，且EX＝2，则下列说法正确的是
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7.一批产品共50件，其中5件次品，其余均为正品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为______.
设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
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8.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差Dξ＝______.
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箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，
9.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
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设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和均值.
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随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
随机变量X的分布列为
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由题意可知，甲射击中靶的次数X甲～B(5，p1).
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(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
甲、乙两人射击中靶与否互不影响，分两类情况：共击中3次的概率为
共击中4次的概率为
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(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
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11.随机变量ξ的分布列为
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12.现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若DX＝8，P(X＝20)