新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】章末检测试卷二(第二章)

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章末检测试卷二(第二章)
第二章　圆锥曲线
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是A.1 　　　B.2 　　　C.3 　　　D.4
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抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.
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∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
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又虚半轴长b＝1且a>0，
3.动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线
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已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线.
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解得c＝2.
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5.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为
√
设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
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6.直线y＝kx＋1与椭圆　　　＝1总有公共点，则m的取值范围是A.(1，＋∞) B.(0,1)∪(1，＋∞)C.[1,5)∪(5，＋∞) D.(0,1)∪(1,5)
√
直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，
∴m≥1且m≠5.
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8.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
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标系中，曲面的方程为　　　　　＝1(a>0，b>0，c>0)，则平面z＝1与单叶双曲面的截线可能是(注：z＝1表示点(x，y,1)组成的平面，即过点(0,0,1)且与z轴垂直的平面)A.圆 　　B.双曲线 　　C.抛物线 　　D.椭圆
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.如图是我国广州的新电视塔，外观优美，结构稳定，是当地重要的地标之一.该电视塔的外形是单叶双曲面，在几何学中，单叶双曲面(有时称为旋转双曲面或圆形双曲面)是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面，在空间直角坐
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当a＝b时，该曲线为圆，A项正确，当a≠b时，该曲线为椭圆，D项正确.
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10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且　　　　＝0，则下列结论正确的是A.双曲线C的渐近线方程为y＝±xB.△PF1F2的面积为1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2D.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
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对于A，由x2－y2＝0得y＝±x，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以A正确；对于B，由双曲线C：x2－y2＝1，
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因为点P在双曲线上，
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如图，取MN的中点P，
则∠MAN＝60°.
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对于选项B，当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
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即e4－8e2＋4＝0,01
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结合题意，设右焦点为F2，绘制图象，根据双曲线的性质可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，得到|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，
所以最小值为6.
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则a2＝b2＋c2＝b2＋50， ①设直线3x－y－2＝0与椭圆相交的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴b2(y1－y2)(y1＋y2)＋a2(x1－x2)(x1＋x2)＝0.
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∴b2×3×(－1)＋a2×1＝0，即a2＝3b2， ②联立①②得a2＝75，b2＝25.
16.如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝　 |AF|，则△AFK的面积为____.
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由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2,4)，
四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)设F1，F2分别为双曲线　　　＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.
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设PF1的中点为M，连接F2M(图略).由|PF2|＝|F1F2|，得F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.
故|PF1|＝4b.根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
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18.(12分)椭圆　　　＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点.(1)求△ABF2的周长；
由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
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(2)若l的倾斜角为 ，求弦长|AB|.
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由(1)可知F1(－1,0)，
则直线AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为y＝x＋1.
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(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
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消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0. ①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18).因为直线l与椭圆有公共点，
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(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.
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20.(12分)已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点.(1)若直线l的斜率为－1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
因为抛物线为y2＝4x，所以焦点坐标为(1,0)，直线AB的斜率为－1，则直线AB的方程为y＝－x＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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可得x1＋x2＝6，又由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2，所以|AB|＝8.
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(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点.
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设直线AB的方程为x＝my＋n，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝16m2＋16n>0，
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即x1x2＋y1y2＝0，所以n2－4n＝0，解得n＝0或n＝4，当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意；当n＝4时，直线AB过点(4,0)，故当OA⊥OB时，直线AB过定点(4,0).
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(1)求椭圆C的标准方程；
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(2)过点(1,0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
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存在定点Q(4,0)，满足直线QA，QB恰好关于x轴对称，设直线l的方程为x＝my＋1，
联立得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，Δ＝(6m)2－4×(4＋3m2)×(－9)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)，由题意得t≠x1，t≠x2，
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因为直线QA，QB恰好关于x轴对称，所以直线QA，QB的斜率互为相反数，
即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，所以y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0，即2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，
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即－6m(4－t)＝0，所以当t＝4时，直线QA，QB恰好关于x轴对称，即Q(4,0).综上，在x轴上存在定点Q(4,0)，使直线QA，QB恰好关于x轴对称.
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22.(12分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.(1)求点P的轨迹C的方程；
设P(x，y)(x≥0)，
两边平方，整理得y2＝4x.∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
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(2)过椭圆C1：　　　＝1的右顶点作直线交曲线C于A，B两点，其中O为坐标原点.①求证：OA⊥OB；
设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x＝my＋4.代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.
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∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.∴OA⊥OB.
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②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
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得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.
∴x3x4＋y3y4＝0.代入，整理得7λ2＝48(t2＋1).
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∵OD⊥OE，