新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】章末检测试卷三(第三章)

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章末检测试卷三(第三章)
第三章　空间向量与立体几何
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
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2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于A.1 B.2 C.3 D.4
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若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
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3.若向量a＝(x,4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为 ，则x等于A.3 B.－3 C.－11 D.3或－11
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解得x＝3或x＝－11(舍去).
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5.已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于
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因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，所以2a－b＝(4,2n－1,2).因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，
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因为点D在平面yOz内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
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纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，
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7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为
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依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2，则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，
设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)，
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不妨取c＝3，则a＝1，b＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,2,3)，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
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8.已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点(不含端点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长的取值范围是
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由△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，取AD的中点G，建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(0,0,0)，A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，P(0，0,1)，设F(1，y,0)，016
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A.(4，－2,2) B.(－2,2,4)C.(－4,2，－2) D.(2，－2,4)
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
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设点P的坐标为(x，y，z)，
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故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4).
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10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是A.EF∥平面ABC1D1B.EF⊥B1CC.EF与AD1所成角为60°D.EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为
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连接BD1(图略)，∴EF∥BD1，得EF∥平面ABC1D1，故A正确；∵B1C⊥BC1，又由D1C1⊥平面BCC1B1，得B1C⊥D1C1，∴B1C⊥平面BD1C1.∵BD1⊂平面BD1C1，∴B1C⊥BD1.又∵BD1∥EF，∴EF⊥B1C，故B正确；
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∵EF∥BD1，∴EF与AD1所成角为∠AD1B，
且△AD1B为直角三角形，
∵EF∥BD1，又D1C1⊥平面BB1C1C，
11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是
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以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E，
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解得z＝a或2a，即AE＝a或2a.
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12.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角为90°，以下四个结论正确的是A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形
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如图所示，以BD的中点O为原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
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则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，
所以△ACD为等边三角形，B正确；
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因为异面直线所成的角为锐角或直角，
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是____________________.
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∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0且a与b不共线，
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14.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为____.
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根据题意可知，当VD－ABC最大时，平面DAC⊥平面ABC，设AC的中点为O，连接OB，OD建立空间直角坐标系，如图所示，
令OB＝OC＝OD＝1，则O(0,0,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，1,0)，
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设平面EDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
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∴点B到平面EDC1的距离
16.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，线段PM的长度是________.
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∵E是棱PB的中点，∴点E的坐标为(1,1,1).设M(0,2－m，m)，
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以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意，知A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；
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解得x＝2，y＝－4，则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1).又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，则c＝(3，－2,2).
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(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值.
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由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设a＋c与b＋c的夹角为θ，
18.(12分)如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.
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以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.B(0,1,0)，N(1,0,1)，
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(3)求证：A1B⊥C1M.
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19.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.
(1)求证：BM∥平面ADEF；
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∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2，0,2).
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∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，
又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
(2)求证：BC⊥平面BDE.
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∴BC⊥DB.
∴BC⊥DE.又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE，∴BC⊥平面BDE.
20.(12分)如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M，N分别是AB，PC的中点.
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(1)求证：平面MND⊥平面PCD；
因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，如图分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,2)，M(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，N(1,1,1)，
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设平面MND的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
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令y1＝1可得z1＝－1，x1＝2，所以m＝(2,1，－1)，设平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
可得x2＝0，
令y2＝1，则z2＝1，所以n＝(0,1,1)，因为m·n＝2×0＋1×1－1×1＝0，所以m⊥n，所以平面MND⊥平面PCD.
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(2)求点P到平面MND的距离.
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21.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
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(1)求证：BE⊥DC；
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依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，
B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，
所以BE⊥DC.
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(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的平面角的余弦值.
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＝(1－2λ，2－2λ，2λ).
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设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量.易知向量n2＝(0,1,0)为平面ABP的一个法向量，
由图可知，二面角F－AB－P的平面角为锐角，
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在△ABC中，∠C＝90°，即AC⊥BC，则BD⊥DE，取BF的中点N，连接CN交BE于点M，
又E是AC的中点，∴EF是△ANC的中位线，∴EF∥CN.在△BEF中，N是BF的中点，∴M是BE的中点，
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在Rt△BCE中，EC＝BC＝2，∴CM⊥BE，则EF⊥BE.
又平面DEB⊥平面ABE，平面DEB∩平面ABE＝BE，EF⊂平面ABE，∴EF⊥平面DEB.又BD⊂平面BDE，∴EF⊥BD.又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面DEF，∴BD⊥平面DEF.
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以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，E(2,0,0)，
取BE的中点G，连接DG，则DG⊥BE，又平面DEB⊥平面ABC，
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设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，
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设DF与平面ADE所成的角为θ，则