新教材北师大版学习笔记必修一第一章 2【学案+同步课件】.1 第2课时　充要条件

这是一份新教材北师大版步步高学习笔记必修一第一章 2【学案+同步课件】.1 第2课时　充要条件，文件包含第一章21第2课时充要条件pptx、第一章21第2课时充要条件docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共56页， 欢迎下载使用。


第2课时　充要条件
第一章　2.1　必要条件与充分条件
学习目标
1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
2.会判断一些简单的充要条件问题.
3.能对充要条件进行证明.
导语
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”，像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
内容索引
充要条件的判断

一
问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示　首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
知识梳理
1.一般地，如果______，且______，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的_____条件，记作______. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.2.条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.
p⇒q
q⇒p
充要
p⇔q
(1)分类： ①p⇒q，q⇏p⇔p是q的充分不必要条件；②q⇒p，p⇏q⇔p是q的必要不充分条件；③p⇒q且q⇒p⇔p是q的充要条件；④p⇏q且q⇏p⇔p是q的既不充分也不必要条件.(2)传递性：①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件；②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件；③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件.
注意点：
　　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”).(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件.
(2)p：x>1，q：x2>1；
∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件.
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件.
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件.
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
反思感悟
　　　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件.
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件.
(3)p：a＝－3，q：|a|＝3.
a＝－3可推出|a|＝3；|a|＝3可推出a＝±3.所以p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明

二
　　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.∴原命题得证.
反思感悟
充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
　　　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
充分、必要条件的应用

三
　　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0延伸探究1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思感悟
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
　　　设命题p： ≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
由p是q的充分不必要条件，可知AB，
课堂小结
1.知识清单： (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)根据条件求参数范围.2.方法归纳：等价转化法.3.常见误区： (1)条件和结论辨别不清. (2)充分、必要条件问题转化为集合之间的关系易颠倒.
随堂演练

1.“x>0”是“x≠0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
1
2
3
4
√
由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.
5
1
2
3
4
A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
√
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
3.设a∈R，则“a>4”的一个必要不充分条件是A.a>1 B.a<1C.a>5 D.a<5
√
5
由题意，当a>4成立时，a>1成立，当a>1成立时，a>4不一定成立，所以a>1是a>4的必要不充分条件.
4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______条件.
1
2
3
4
因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件.
5
充要
5.已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________.
1
2
3
4
因为p是q的必要不充分条件，
{m|m≥8}
5
所以实数m的取值范围为{m|m≥8}.
课时对点练

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
当x＝1时，x3＝x成立.若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1，不一定得到x＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a√
因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是A.0√
由二次函数的图象(略)可知，x(x－2)<0⇔{x|01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.
5.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列结论正确的是A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈C推不出x∈A，所以x∈C是x∈A的必要不充分条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件.
充要
由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知A＝{x|－1{m|m>2}
由题意，得x∈A⇒x∈B，但x∈B不能推出x∈A，∴AB，∴32.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.若“x≤－1，或x≥1”是“x－1
“x≤－1，或x≥1”是“x1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么：(1)s是q的什么条件？
将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示.因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)r是q的什么条件？
因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件.
(3)p是q的什么条件？
因为p⇒r⇒s⇒q，q推不出p，所以p是q的充分不必要条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.求证：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0.因此，方程有一个根为x＝1，故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的为A.A∪B＝A B.(∁UA)∩B＝∅C.(∁UA)⊆(∁UB) D.A∩(∁UB)＝∅
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝_____.
－2
所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，则A∪B＝R的一个必要不充分条件是________；A∪B＝R的一个充分不必要条件是_____________________.
b≥－3
b≥－1(答案
不唯一)
若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.(多选)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题图知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件，故选BD.
16.设M＝{x|x<－3或x>5}，N＝{x|－a≤x≤8}，命题p：x∈M，命题q：x∈N.(1)当a＝－6时，试判断命题p是命题q的什么条件；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
M＝{x|x<－3或x>5}，当a＝－6时，N＝{x|6≤x≤8}，∵命题p：x∈M，命题q：x∈N，∴q⇒p，p不能推出q，∴命题p是命题q的必要不充分条件.
(2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求a的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
M＝{x|x<－3或x>5}，N＝{x|－a≤x≤8}，∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴NM，∴当－a>8，即a<－8时，N＝∅，满足题意；当－a＝8，即a＝－8时，N＝{8}，满足题意；当－a<8，即a>－8时，N＝{x|－a≤x≤8}，故－a>5，解得a<－5，∴－8