新教材北师大版学习笔记必修一第一章 1【学案+同步课件】.3 第1课时　交集与并集

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第1课时　交集与并集
第一章　1.3　集合的基本运算
学习目标
1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.
2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
导语
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素个数的问题，大家看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、橡皮、笔记本、方便面共4种，第二次进的货是圆珠笔、火腿肠、方便面共3种，两次一共进了几种货？两次进的货一样的有几种？我们说，数学的本身是解决实际问题，我们知道，实数有加、减、乘、除运算，那么集合是否也有类似的运算呢？
内容索引
交集

一
问题1　某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、橡皮、笔记本、方便面共4种，第二次进的货是圆珠笔、火腿肠、方便面共3种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，你能用集合C表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合A，B与集合C的关系.
提示　A＝{圆珠笔，橡皮，笔记本，方便面}，B＝{圆珠笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，方便面}，容易发现集合C是由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.
知识梳理
交集
既
交集
{x|x∈A，且x∈B}
(1)A∩B仍是一个集合.(2)“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅.
注意点：
　　(1)若集合A＝{x∈Z|－3√
将集合A，B用列举法表示出来，得A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，借助Venn图(如图)，可得A∩B＝{0,1,2}.
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为A.x＝3，y＝－1 B.(3，－1)C.{3，－1} D.{(3，－1)}
√
∴M∩N＝{(3，－1)}.
求两个集合的交集时，若元素个数有限，则逐个挑出两个集合的公共元素；若元素个数无限，一般要借助数轴求解，要注意端点值的取舍.
反思感悟
　　　已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于A.{x|x>－1} B.{x|x<2}C.{x|－1√
在数轴上标出集合A，B，如图所示.
故A∩B＝{x|－1并集

二
问题2　对于问题1中的集合A与集合B，你能用集合D表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A，B与集合D的关系.
提示　由A＝{圆珠笔，橡皮，笔记本，方便面}，B＝{圆珠笔，火腿肠，方便面}知，集合D＝{圆珠笔，橡皮，笔记本，方便面，火腿肠}，可见，集合D是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
知识梳理
并集
所有
并集
{x|x∈A，或x∈B}
(1)A∪B仍是一个集合.(2)“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B.(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性.
注意点：
　　(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2－2} B.{x|x>－1}C.{x|－2√
画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}.
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为A.0 B.1 C.2 D.4
√
∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
反思感悟
求两个集合的并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集.(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集.(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集.提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个.
　　　设集合A＝{x|x≤1或x≥3}，B＝{x|2x－3≤0}，则A∪B等于A.{x|x≤1或x≥3} B.{x|1≤x≤3}
√
∵集合A＝{x|x≤1或x≥3}，
交集、并集的运算性质及综合应用

三
知识梳理
交集、并集的性质(1)A∩B___B∩A，A∩B___A，A∩B___B，A∩A___A，A∩∅____∅，A∩B＝A⇔A⊆B.(2)A∪B___B∪A，A____A∪B，B____A∪B，A∪A___A，A∪∅____A，A∪B＝A⇔B⊆A.(3)A∩B⊆A∪B，A∩B＝A∪B⇔A＝B.
＝
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⊆
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＝
＝
⊆
⊆
＝
＝
(1)集合运算中注意对∅的讨论.(2)集合运算中注意数形结合方法(借助数轴和Venn图)的应用.
注意点：
　　已知集合A＝{x|－3(1)当B＝∅时，即k＋1>2k－1，k<2时，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，
延伸探究1.把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围.
由A∩B＝A可知A⊆B.
所以k的取值范围为∅.
2.把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3所以k的值为3.
反思感悟
在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况.
　　　已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}.(1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围.
因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a>5或a＋3<－1，即a的取值范围为a>5或a<－4.
课堂小结
1.知识清单： (1)交集、并集的概念及运算. (2)交集、并集的性质. (3)由交集、并集的关系求参数值或范围.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论；求解参数后，易忽视代入原集合进行检验这一步骤.
随堂演练

1.已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B等于A.{1,6,5,6,8} B.{1,5,6,8}C.{6} D.{1,2,3,4,5}
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求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性.
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2.若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤2或x≥3}，则A∩B等于A.{x|2≤x≤3} B.{x|x<2或x≥3}C.{x|x≥3} D.{x|0√
借助数轴，如图所示，可得A∩B＝{x|05
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3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是A.{0,1} B.{0}C.{－1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}
由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}.
√
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4.已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是A.1或2 B.2或4C.2 D.1
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∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或a＝2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不符合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意.
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5.已知集合A＝(－1,2)，B＝(0,3)，则A∪B＝________.
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因为A＝(－1,2)，B＝(0,3)，所以A∪B＝(－1,3).
(－1,3)
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课时对点练

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1.已知集合M＝{x|－3√
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2.设集合A＝{x|x是参加自由泳的运动员}，B＝{x|x是参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A.A∩B B.A⊇B C.A∪B D.A⊆B
√
因为集合A＝{x|x是参加自由泳的运动员}，B＝{x|x是参加蛙泳的运动员}，所以“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B，故选A.
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3.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于A.{x|x≥－1} B.{x|x≤2}C.{x|0√
借助数轴(如图)可知A∪B＝{x|x≥－1}.
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4.集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{0,2}，C＝{－1,0,1}，则(A∩C)∪B等于A.{－1,0,1,2} B.{0,2}C.{0,1,2} D.{－1,0,2}
√
A∩C＝{－1,0,1}，(A∩C)∪B＝{－1,0，1,2}.
5.(多选)集合M＝{x|－1≤x≤3}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素可以为A.－1 B.0 C.1 D.3
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∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}，∴M∩N＝{1,3}.
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6.某班同学参加数学、物理竞赛，有15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，其中两个竞赛都参加的有5名.这两个竞赛中，这个班共有_____名学生参赛.
21
因为15名同学参加了数学竞赛，11名同学参加了物理竞赛，两个竞赛都参加的有5名，所以只参加了数学竞赛的有10名同学，只参加了物理竞赛的有6名同学，则参加比赛的同学共有10＋6＋5＝21(名).
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7.已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是___________.
[2，＋∞)
∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.
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8.已知集合A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c，d，e}，C＝{a，d，f}，则(A∪B)∩C与(A∩C)∪(B∩C)的关系是___________________________.
(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)
(A∪B)∩C＝{a，b，c，d，e}∩{a，d，f}＝{a，d}；(A∩C)∪(B∩C)＝{a，d}∪{d}＝{a，d}.所以(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C).
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9.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.
因为A∩B＝{3}，所以3∈A.从而可得p＝8，所以A＝{3,5}.又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，所以B＝{2,3}.所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
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10.集合A＝{x|－1如图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，∴a≤－1，即a的取值范围为(－∞，－1].
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(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围.
如图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，∴－11
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11.(多选)满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是A.{5} B.{1,5} C.{3} D.{1,3}
√
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由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，A⊆{1,3,5}，且A中至少有1个元素5，故选AB.
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12.若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，
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13.已知集合A＝{x|x2－3|x|＋2＝0}，集合B满足A∪B＝{－2，－1,1,2}，则满足条件的集合B的个数为A.4 B.8C.16 D.32
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由x2－3|x|＋2＝0，解得|x|＝1或|x|＝2，∴A＝{－2，－1,1,2}，∵A∪B＝{－2，－1,1,2}＝A，∴B⊆A.∵集合A的子集的个数为24＝16，∴满足条件的集合B的个数为16.
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14.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x{a|a>2}
{a|a≤1}
根据题意，集合A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示，如图.
若A∩B＝A，则有A⊆B，必有a>2，若A∩B＝∅，必有a≤1.
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15.已知非空集合A，B满足以下两个条件：①A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，A∩B＝∅；②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对(A，B)的个数为A.10 B.12C.14 D.16
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①当集合A中只有1个元素时，集合B中有5个元素，则1∉A,5∉B，此时集合A中有且只有一个元素为5，集合B＝{1,2,3,4,6}，有一种可能；②当集合A中有2个元素时，集合B中有4个元素，则2∉A，且4∉B，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，所以A＝{1,4}，B＝{2,3,5,6}或A＝{3,4}，B＝{1,2,5,6}或A＝{4,5}，B＝{1,2,3,6}或A＝{4,6}，B＝{1,2,3,5}，共4种可能；③易知集合A中不可能有3个元素；
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④当集合A中有4个元素时，集合B中有2个元素，此情况与情况②相同，只需A，B互换，共4种可能；⑤当集合A中有5个元素时，集合B中只有1个元素，此情况与情况①相同，只需A，B互换，共1种可能，综上所述，有序集合对(A，B)的个数为10.
16.已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a使A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)∅(A∩B).若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
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假设存在a使得A，B同时满足条件，由题意得B＝{2,3}.∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或AB.由条件(1)A≠B，可知AB.又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}.
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当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5.经检验，当a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去.当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.经检验，当a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去.综上所述，不存在实数a使得A，B同时满足条件.