新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第三章 再练一课(范围：§1～§4)

再练一课(范围：§1～§4)

一、单项选择题

1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，且P(－2,1,4)到平面α的距离为，则x的值为(　　)

A．1   B．11 

C．－1或－11   D．－21

答案　C

解析　＝(x＋2,2，－4)，而d＝＝，

即＝，

解得x＝－1或x＝－11.

2．已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是(　　)

A．－6  B．6  C．14  D．－14

答案　A

解析　∵l1∥l2，∴a∥b，

则＝＝，解得n＝－4，m＝6，

∴m＋3n＝6－12＝－6.

3．若点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′，点B(－2，1,4)关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于(　　)

A.  B．3  C．5  D.

答案　C

解析　∵点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′，

∴A′(2，－3,2)，

∵点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′，

∴B′(2,1，－4)，

∵点M为线段A′B′的中点，

∴M(2，－1，－1)，

∴|MA|＝＝5.

4．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由点A，B，C，D共面得x＋y＝，    ①

又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，     ②

联立①②，解得x＝，y＝，所以x＋3y＝.

5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝4，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为(　　)

A.   B.  C.  D.

答案　B

解析　以A点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，E(1,2,1)，P(0,0,2)，D(0,4,0)，

∴＝(－1,2,1)，＝(0,4，－2)，

设异面直线PD与BE所成角为θ，

则cos θ＝＝＝.

6．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)

A.  B.  C.   D.

答案　A

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，

∴＝，＝(a，a,0)，＝(a,0，a)．

设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)．

∴点A1到平面MBD的距离为d＝＝＝a.

二、多项选择题

7．下列四个结论正确的是(　　)

A．任意向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或〈a，b〉＝

B．若空间中点O，A，B，C满足＝＋，则A，B，C三点共线

C．空间中任意向量a，b，c都满足(a·b)·c＝a·(b·c)

D．已知向量a＝(1,1，x)，b＝(－2，x,4)，若x<，则〈a，b〉为钝角

答案　AB

解析　对于选项A，若a·b＝0，

则a＝0或b＝0或a·b＝0(a，b≠0)，

即a＝0或b＝0或〈a，b〉＝，选项A正确；

对于选项B，由＝＋，

因为＋＝1，

所以A，B，C三点共线，选项B正确；

对于选项C，向量的数量积运算不满足结合律，选项C不正确；

对于选项D，cos〈a，b〉＝

＝，

当〈a，b〉为钝角或180°时，

cos〈a，b〉＝＝<0，

解得x<，

故若x<，则〈a，b〉为钝角或180°.

选项D不正确．

8. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．B1G⊥BC

B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1

C．A1H∥平面AEF

D．二面角C－AF－E的平面角的大小为

答案　BC

解析　由题意可知，B1G在底面上的投影为BG，而BC不垂直于BG，则B1G不垂直于BC，则选项A不正确；

连接AD1和BC1，由E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，

可知EF∥BC1∥AD1，

则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，

所以选项B正确；

由题意知，可设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，H(2，2,1)，F(1,2,0)，

＝(0,2，－1)，＝(－1,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(0,0,2)，

设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令y＝1，得x＝2，z＝2，

得平面AEF的法向量为n＝(2,1,2)，

所以·n＝0，

所以A1H∥平面AEF，则C选项正确；

由图可知，AA1⊥平面AFC，

所以是平面AFC的法向量，

则cos〈，n〉＝＝.

二面角C－AF－E的平面角的大小不是，

所以D不正确.

三、填空题

9．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.

答案　

解析　因为a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)

所以a－2b＝(8，－5,13)，

所以|a－2b|＝＝.

10．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为__________________．

答案　

解析　设M(x，y，z)，

又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，

由题意得∴

∴点M的坐标为.

11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1 ，则异面直线BA1与AC1所成的角的大小为________．

答案　60°

解析　∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，

∴以点A 为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，

设AB＝AC＝AA1＝1，

则A(0,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,0,1)，

∵＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，

∴cos〈，〉＝

＝＝.

∴异面直线BA1与AC1所成的角等于60° .

12．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．则△ABC的面积为________，△ABC中AB边上的高为________．

答案　3　3

解析　由已知得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，

∴||＝＝，

||＝＝2，·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，

cos〈，〉＝＝

＝，

sin〈，〉＝＝.

∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉＝××2×＝3，

设AB边上的高为CD，

则CD＝||＝＝3.

四、解答题

13．如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.

求证：(1)BC1⊥AB1；

(2)BC1∥平面CA1D.

证明　如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设AC＝BC＝BB1＝2，

则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．

(1)因为＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，

所以·＝0－4＋4＝0，

所以⊥，

故BC1⊥AB1.

(2)取A1C的中点E，连接DE，因为E(1,0,1)，

所以＝(0,1,1)，

又＝(0，－2，－2)，

所以＝－，

又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，

又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，

故BC1∥平面CA1D.

14. 如图，在多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

(1)证明　如图，以AC的中点O为原点，以OB，OC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系．则A(0，－，0)，B(1，0,0)，A1(0，－，4)，B1(1，0,2)，C1(0，，1)．

所以＝(1，，2)，＝(1，，－2)，

＝(0,2，－3)．

由·＝0，得AB1⊥A1B1.

由·＝0，得AB1⊥A1C1，

又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1⊂平面A1B1C1，

所以AB1⊥平面A1B1C1.

(2)解　设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.

由(1)可知＝(0,2，1)，＝(1，，0)，＝(0,0,2)．设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z)．

由得

令y＝1，则x＝－，z＝0，

可得平面ABB1的一个法向量n＝(－，1,0)．

所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.

因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.

15. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，M是AB的中点，N是A1B1的中点，P是BC1与B1C的交点，点Q在线段C1N上．

(1)求证：PQ∥平面A1CM；

(2)若二面角A1－CM－A的平面角的余弦值是，求点B到平面A1CM的距离．

(1)证明　连接BN，设AC1∩A1C＝H，连接MH.

∵AH＝HC1，AM＝MB，

∴BC1∥MH，

又MH⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM，

∴BC1∥平面A1CM.

∵四边形A1NBM是平行四边形，

∴BN∥A1M，

又BN⊄平面A1CM，A1M⊂平面A1CM，

∴BN∥平面A1CM.

∵BC1∩BN＝B，BC1⊂平面BC1N，BN⊂平面BC1N，

∴平面A1CM∥平面BC1N.

∵PQ⊂平面BC1N，

∴PQ∥平面A1CM.

(2)以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设A1(0,0，h)(h>0)，M(0,2,0)，C(2,0,0)，B(0,4,0)，

∴＝(0,2，－h)，＝(2,0，－h)，

设平面A1CM的一个法向量n＝(x，y，z)，

则不妨设z＝2，

解得n＝(h，h,2)．

显然平面ACM的一个法向量n0＝(0,0,1)．

由二面角A1－CM－A的平面角的余弦值是，

则|cos〈n，n0〉|＝＝

＝＝，

又h>0，解得h＝2，

∴n＝(2,2,2)，

又＝(0,2,0)，

d＝＝＝，

即点B到平面A1CM的距离为.