新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第二章 再练一课(范围：§1～§3)

再练一课(范围：§1～§3)

一、单项选择题

1．已知抛物线C：y2＝8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案　B

解析　如图．由y2＝8x⇒＝2，根据抛物线定义得，|PF|＝|PH|＝|PG|＋|GH|＝6⇒|PG|＝6－|GH|＝6－2＝4，则P到y轴的距离是4.

2．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图(2)所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图(1)，(2)，(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别，，，设图(1)，(2)，(3)中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则(　　)

A．e1>e3>e2  B．e2>e3>e1

C．e1>e2>e3   D．e2>e1>e3

答案　A

解析　因为椭圆的离心率e＝＝＝＝＝，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为≈1.44，≈1.24，≈1.43，则>>，所以e1>e3>e2.

3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为(　　)

A.  B．3  C．2  D．6

答案　D

解析　由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－x，

即bx＋ay＝0，

设双曲线的右焦点为F(c,0)，c>0，

则c2＝a2＋b2，

所以焦点到渐近线的距离d＝＝＝b＝3，又离心率e＝＝，

所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6.

4．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　依题意得＝，所以c＝2b，

所以a＝＝b，

所以e＝＝＝.

5．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)

答案　C

解析　原方程分别可化为y＝ax＋b和＋＝1.

从B，D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除；

由D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排除；

由A中的双曲线可得a<0，b>0，但由直线可得a>0，b>0，矛盾，应排除；

由C中的双曲线可得a>0，b<0，

由直线可得a>0，b<0.

6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　D

解析　设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx－ay＝0，

∵|AB|＝4，r＝，

∴圆心(2,0)到渐近线的距离为，

即＝，

解得b＝a，∴c＝＝a，

∴此双曲线的离心率为e＝＝.

二、多项选择题

7．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

答案　ACD

解析　对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．

对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．

对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．

对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．

8．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是(　　)

A．a＝b，满足∠F1PF2＝90°的点P有两个

B．a<b，满足∠F1PF2＝90°的点P有四个

C．△PF1F2的面积的最大值为

D．△PF1F2的周长小于4a

答案　ACD

解析　记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2.选项A中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，正确；选项B中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，错误；选项C中，面积≤·2c·b＝bc≤＝，正确；选项D中，周长＝2c＋2a<4a，正确．

三、填空题

9．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为________．

答案　y＝±x

解析　因为e＝＝，不妨设a＝4，c＝1，则b＝，

所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

10.如图所示，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．

答案　＋＝1

解析　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，|AO|＝a，

∴|BF|＝a.

∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.

∴S△ABF＝·|AF|·|BO|

＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，

解得b2＝2，b＝，则a＝2b＝2.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

11．已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．

答案　16

解析　在双曲线－＝1中，2a＝8，

由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8，

所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16.

12．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是________________．

答案　(1,1＋)

解析　由已知条件易求|AF1|＝，

tan∠AF2F1＝＝，

由于△ABF2为锐角三角形，

则有tan∠AF2F1＝<tan 45°＝1，

整理得b2<2ac，

∴c2－a2－2ac<0，

两边同时除以a2得e2－1－2e<0，

解得1－<e<1＋，

又e∈(1，＋∞)，

故离心率的取值范围是(1,1＋)．

四、解答题

13．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.

(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；

(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．

解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，

则MF1⊥MF2，

设|MF1|＝m，|MF2|＝n，

由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①

又m2＋n2＝(2c)2＝80，②

由①②得m·n＝8，

∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.

(2)设所求双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)，

由于双曲线C过点(3，2)，

∴－＝1，

解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，

∴所求双曲线C的方程为－＝1.

14.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车能否通过此隧道？说明理由．

解　取抛物线顶点为原点，水平向右为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，

当x＝3时，y＝－3，

即取抛物线与矩形的交点(3，－3)，

代入x2＝－2py，得9＝6p，则p＝，

故抛物线方程为x2＝－3y.

已知集装箱的宽为3 m，

取x＝，

则y＝－x2＝－.

而隧道高为5 m,5 m－ m＝ m<4.5 m.

所以卡车不可以通过此隧道．

15．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，且该椭圆过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C上的点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，求y0的值．

解　(1)由题意得，，解得a2＝4，b2＝1，

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)点M(x0，y0)满足MF1⊥MF2，

则有·＝0，且y0≠0，

＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，

即·＝(－－x0)(－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x＋y－3＝0，①

而点M(x0，y0)在椭圆C上，

则＋y＝1，②

取立①②消去x，得y＝，

所以y0＝±.