新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第一章 习题课　与圆有关的最值问题

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习题课　与圆有关的最值问题
第一章　直线与圆
学习目标
1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
导语
海上某基站信号覆盖范围达60公里.一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题.)
内容索引
与距离有关的最值问题

一
知识梳理
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ ，最大值＝ (d为圆外一点与圆心之间的距离).
d－r
d＋r
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ ，最大值＝ (d为圆心到直线的距离).
d－r
d＋r
3.圆与圆外离，P，Q分别为两圆上任意一点，d为两圆心之间的距离，|PQ|max＝d＋r1＋r2，|PQ|min＝d－r1－r2.
4.圆与圆相交，P，Q分别为两圆上任意一点，|PQ|max＝d＋r1＋r2(d为两圆心之间的距离).
5.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝ 　　　 ，最大值＝___(d为圆心到直线的距离).
2r
6.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝ 　　 　(d为圆心到直线的距离).
　　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦长最短时，m的值为_____.
直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
解得直线l的定点坐标为M(3,1)，圆心C为(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是
√
因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为C(1，－2)，半径r＝2.因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，所以圆心在直线l上，所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，
(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值.
反思感悟
　　　(1)从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为A.－1　　　 B.1 　　　C.2 　　　D.0
√
x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，
即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短.
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为______.
设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
与面积有关的最值问题

二
　　已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为A.1 　　B.2 　　　 C.3 　　　 D.4
√
根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，又M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
反思感悟
　　　(1)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为
√
设圆心到直线的距离为d(0(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝____.
2
圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，又四边形PACB的最小面积是2，
则|PB|min＝2，
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小.
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，
因为k>0，所以k＝2.
利用几何意义解和圆有关的最值问题

三
　　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.
方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小.设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.
所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)求x＋y的最大值与最小值.
设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，
反思感悟
　　　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是
√
√
对于A，设z＝y－x，
对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，
(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，
对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，
课堂小结
1.知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题. (2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题.2.方法归纳：数形结合、转化与化归.3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大.
随堂演练

1.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
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√
x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7].
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2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为
√
根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，
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直线AP的方程为y＋1＝k(x＋2)，即y－kx－2k＋1＝0，
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4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为________.
当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，
课时对点练

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将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
2.已知点P是直线3x＋4y＋5＝0上的动点，点Q为圆(x－2)2＋(y－2)2＝4上的动点，则|PQ|的最小值为
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圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心为(2,2)，半径为2，
3.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为A.－9,1 B.－10,1C.－9,2 D.－10,2
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y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，
所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.
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由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，
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如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小，|PM|最小.
∴r＝1.
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7.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________.
(x－1)2＋y2＝2
∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0,1)为圆心，
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8.圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为_______________.
x2＋y2－2y－9＝0
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.
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9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；
将圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
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设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
由直线MQ与圆C有交点，
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10.已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.(1)求圆的方程；
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圆与x，y轴正半轴都相切，∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∵圆心C到直线l的距离为3，
解得a＝2，∴半径为2.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
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(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.
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PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，∴△PCE≌△PCF，∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，∴当斜边PC的长取最小值时，|PE|也最小，即四边形PECF的面积最小.|PC|min即为C到l的距离，由(1)知|PC|min＝3，
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圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径为r1＝3.圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径为r2＝2.
∴两圆外离，
12.已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，　 )，则四边形ABCD面积的最大值为A.5 　　　B.10 　　　C.15　　　 D.20
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如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，
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∴四边形ABCD面积的最大值为5.
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13.已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，点B的坐标为(0,2)，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PB|＋|PQ|的最小值为______.
由于点B(0,2)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，
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表示的图形是一个半圆，
如图所示，
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15.已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为______.
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又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，当B，D在如图所示位置，
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即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
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16.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点　　　 .(1)求圆C的标准方程；
设C(a,0)，
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即r＝2，所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
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(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2).
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设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
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②求|PN|2＋|QN|2的最大值.
|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
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令t＝3＋k(t>3)，则k＝t－3，
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