2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考）适应性练习（四）数学试题含解析

2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（四）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合，再利用集合的交运算即可求解.

【详解】，，

所以.

故选：A

2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石

【答案】B

【详解】设夹谷石，则，

所以，

所以这批米内夹谷约为石，故选B.

【解析】用样本的数据特征估计总体.

3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）

A．58 B．88 C．143 D．176

【答案】B

【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，．

【解析】数列前n项和公式．

4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．

【解析】古典概型及其概率的计算．

5．在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数过定点，排除AC，利用单调性排除B，从而可得答案.

【详解】因为函数过定点，故排除AC选项；

对于B，由图可知函数单调递增，可得，函数单调递增，可得，而与不能同时成立，所以B不合题意，排除B选项.

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6．已知向量满足，，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【分析】直接利用平面向量数量积的运算法则求解即可.

【详解】因为，，

所以

，

故选：B.

7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）

A．升 B．升 C．升 D．升

【答案】B

【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.

【解析】平均变化率.

8．在中，，， 将三角形绕AC旋转一周得到圆锥，记其体积为；将三角形绕BC旋转一周， 得到圆锥，记其体积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆锥的定义，可得两个圆锥的底面半径与高，分别求出两个圆锥的体积，进而可得答案.

【详解】因为，，

所以是直角三角形，两条直角边分别是，

由圆锥的定义可得：

将三角形绕AC旋转一周得到的圆锥的底面半径为2，高为1，

其体积为；

将三角形绕BC旋转一周得到的圆锥的底面半径为1，高为2，

其体积为；

，即，

故选：B.

9．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选D．

【解析】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.

10．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为36，求出半径，即可求出球的表面积．

【详解】解：如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，

故选：．

【点睛】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大是关键，属于中档题．

11．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）

矩形的面积S=x（12-x）＞20

∴x2-12x+20＜0

∴2＜x＜10

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率

【解析】几何概型

12．“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，

所以，

又，则

故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：

（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；

（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.

13．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.

【详解】由题意得直线斜率存在，设为k，则直线：，

由直线与圆有公共点得，

从而倾斜角取值范围是，选D.

【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.

14．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先根据原函数的奇偶性及周期性确定的值，然后得到的解析式，再根据确定，最后求解的值.

【详解】因为函数是奇函数，且其最小正周期为，

所以，则，得．

又，所以，故，

所以，.

故选：C.

【点睛】本题考查型函数的图象及性质，难度一般.解答时先要根据题目条件确定出、及的值，然后解答所给问题.

15．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是

，则河流的宽度BC等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，，，

所以

.

故选C.

二、填空题

16． 设，使不等式成立的的取值范围为__________.

【答案】

【分析】通过因式分解，解不等式．

【详解】，

即，

即，

故的取值范围是．

【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．

17．已知数列中，， （），则数列的前9项和等于_______．

【答案】27

【分析】先判断数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列求和公式求解即可.

【详解】因为（）所以（），

又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，

则数列的前9项和，

故答案为：27.

18．若实数、满足约束条件，则的最大值是______.

【答案】10

【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.

【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界处，由此求得目标函数的最大值为.

故答案为

【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题.

19．若x，y为正数，且，则的最大值为______.

【答案】

【分析】利用基本不等式由求解.

【详解】由，当且仅当，即时，取等号，

解得，

即的最大值为

故答案为：

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．对于函数（），给出下列判断：

①当时，函数为奇函数；

②函数的图象关于点对称；

③当，时，函数的最小值为1．

其中正确的判断是_______．

【答案】①②

【分析】利用奇偶性的定义判断①是否正确；利用函数图象的平移变换判断②是否正确；再分析函数的单调性判断③是否正确.

【详解】对于①，当时，，则，所以为奇函数，故①正确；

对于②，由①可知函数为奇函数，图象关于原点对称，而看作是由的图象向上或向下平移个单位而得到，故图象关于对称，②正确；

对于③，当时，因为函数在上递减，所以，最大值为，故③错.

故答案为：①②.

三、解答题

21．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.

【答案】，

【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.

试题解析：因为，

所以，

又，

所以，

因此，又，

所以，

又，所以.

由余弦定理，

得，

所以.

【解析】解三角形

【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．

22．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费．

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.

【解析】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过立方米的居民占，所以至少定为；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可.

试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，

该市居民该月用水量在区间内的频率依次为．

所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占．依题意，至少定为

（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

（元）．

【解析】1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.

23．已知函数是奇函数．

（1）求a的值；

（2）判断函数的单调性并用定义证明．

【答案】（1）；（2）函数是区间上的增函数．证明见解析.

【分析】（1）由是定义在上的奇函数，可得，解得，再验证奇偶性即可；

（2）任取，作差、分解因式可得，判断即可得答案.

【详解】（1）由题意可得，是定义在上的奇函数，

所以，解得．

此时，

故是奇函数，符合题意；

（2）函数是区间上的增函数，

证明如下：

设，是区间上的任意两个数，且，

则

因为，所以，，

则有，即，

即证得函数是区间上的增函数．

【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.

24．如图已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，点是棱的中点，点在棱上，且，平面.

（1）求实数的值；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）（2）

【解析】【试题分析】（1）运用空间三角形的相似建立等式求解；（2）先确定三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解：

（Ⅰ）连接，设，则平面平面，

//平面，//，        

∽，，

，．

（Ⅱ），

又 ，

，，    

平面，                  

所以．

25．已知点，，动点Q满足．

（1）求动点Q的轨迹方程C．

（2）若曲线C与y轴的交点为A，B（A在B上方），且过点的直线l交曲线C于M，N两点．若M，N都不与A，B重合，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点G恒在直线m上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，.

【分析】（1）设动点，可得，再化简即可得结果；

（2）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上，利用特殊位置猜想点G落在定直线，再证明任意直线AN与BM的交点G恒在直线即可.

【详解】（1）设动点

∵

∴．

整理得：．

经检验得点Q的轨迹方程C为．

（2）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上

令，则直线即，

与圆C： 联立得：．

∴，∴，则直线．

所以直线与的交点，

猜想点G落在定直线．

证明如下：设，，

由得：，

∴，，，

直线，直线BM：，

消去x得．

要证：点G落在定直线上，只需证：．

即证：，即证：，

即证：．

即证：，显然成立

所以直线AN与BM的交点G在一条定直线上．

【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.