2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题含解析

2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则AB＝（    ）

A．{－1，0，2} B．{0，1，2} C．{－1，0，1} D．{－1，0，1，2}

【答案】D

【分析】由集合并集概念求得结果即可.

【详解】由题知，.

故选：D.

2．已知复数，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数加法运算求得结果.

【详解】由题知，

故选：A

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用真数大于直接求解

【详解】由题意，故函数的定义域是

故选：B

4．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.

【详解】函数、、在上均为增函数，函数在上为减函数.

故选：D.

5．下列各点中，在函数的图象上的点是（    ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）

【答案】A

【分析】直接代入计算可得.

【详解】解：因为，所以，故函数过点.

故选：A.

6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调査．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.

【详解】解：因为高一年级共有名学生，占高一、高二这两个年级共名的，

则采用分层抽样的方法抽取人中，应抽取高一年级学生的人数为人.

故选：C.

7．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得；

【详解】解：

故选：A

8．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果.

【详解】解：角以为始边，终边经过点，

.

故选：B.

9．函数的零点个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】令求解.

【详解】令，

解得 ，

所以函数的零点个数是2，

故选：C

10．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可．

【详解】若，则成立，

若，无法推出，

故是的充分不必要条件，

故选：A．

【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题．

11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】逆用两角和的正弦公式求值.

【详解】原式
 

故选：A

12．如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．9

【答案】B

【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.

【详解】在长方体中，底面ABCD，

则四棱锥的体积为.

故选：B

13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（    ）

A．0.08 B．0.18 C．0.25 D．0.72

【答案】D

【分析】根据独立事件乘法公式求解

【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为

故选：D

14．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理直接求解

【详解】由正弦定理

故选：C

15．不等式x（x－1）＜0的解集为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集.

【详解】方程有两个根0,1，

则不等式的解集为

故选：A

16．在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则c＝（    ）

A．2 B． C．4 D．6

【答案】B

【分析】直接利用余弦定理求解即可.

【详解】，

.

故选：B

17．函数的最大值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】由二倍角公式可得，结合正弦函数的值域即可得结果

【详解】∵，

∴函数的最大值是.

故选：D.

18．已知，则（    ）

A．a＞b＞2 B．b＞a＞2 C．a＜b＜2 D．b＜a＜2

【答案】A

【分析】利用指数函数单调性解不等式即可

【详解】

故选：A

19．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则＝（    ）

A．3 B． C．6 D．12

【答案】C

【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果.

【详解】由图知，，两向量的夹角为45°，

则

故选：C

20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p，称为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；

【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率，

所以，故“正面朝上”这一事件的自信息为；

故选：C

二、填空题

21．已知a，b是实数，且a＞b，则－a________－b（填“＞”或“＜”）．

【答案】＜

【分析】根据不等式的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以

故答案为：

22．已知向量＝（1，m），＝（2，4）．若，则实数m＝________．

【答案】2

【分析】根据向量平行关系求得参数.

【详解】由知，，解得m=2.

故答案为：2

23．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面．给出下列三个命题：

①如果m∥n，m⊥，那么n⊥；

②如果m⊥，m⊥，那么//；

③如果⊥，m∥，那么m⊥．

其中所有真命题的序号是________．

【答案】①②

【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③

【详解】解：对于①，由m∥n，m⊥，可得n⊥，所以①正确；

对于②，由m⊥，m⊥，可得//，所以②正确；

对于③，由⊥，m∥，可得直线m与平面可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m在平面内，所以③错误，

故答案为：①②

三、双空题

24．已知函数，则f(x)是________函数（填“奇”或“偶”）；f(x)在区间（0，＋∞）上的最小值是________．

【答案】奇    2   

【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.

【详解】由题知，，故是奇函数；

时，，当且仅当时，等号成立，

则的最小值为2.
故答案为：奇；2.

四、解答题

25．已知函数．

（1）写出f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在区间上的最小值和最大值．

【答案】（1） ；（2）最小值为，最大值为．

【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.

【详解】解：（1）f(x)的最小正周期为．

（2）因为，

所以．

所以函数在上单调递增，

当，即x＝0时，f(x)取得最小值；

当，即时，f(x)取得最大值．

所以f(x)在区间上的最小值为，最大值为．

26．阅读下面题目及其解答过程．

已知函数，

（1）求f（－2）与f（2）的值；

（2）求f(x)的最大值．

解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝    ①    ．

因为2＞0，所以f（2）＝    ②    ．

（2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3，

而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为    ③    ．

又因为x＞0时，有，

而且    ④    ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1．

综上，f(x)的最大值为    ⑤    ．

以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．

【答案】（1）①A  ；  ②B；（2）③A   ； ④A   ； ⑤B．

【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；

【详解】解：因为，

（1）因为，所以，

因为，所以

（2）因为时，有，

而且，所以在上的最大值为．

又因为时，有，

而且，所以在上的最大值为1．

综上，的最大值为．

27．如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，OA＝OB，且D，E，F分别为AC，BC，AB的中点．

（1）求证：平面AOB；

（2）求证：AB⊥平面OCF．

【答案】（1）见解析 ；（2）见解析．

【分析】（1）D，E分别为AC，BC的中点，得，从而证明平面AOB；

（2）OA，OB，OC两两互相垂直，得：平面，从而得出，由题易知从而证明AB⊥平面OCF．

【详解】解：（1）在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，

所以DE∥AB．

又因为DE平面AOB，

所以DE∥平面AOB．

（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，

所以AB⊥OF．

因为OC⊥OA，OC⊥OB，

所以OC⊥平面AOB．

所以AB⊥OC．

所以AB⊥平面OCF．

28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．

假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．

例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．

（1）写出的值；

（2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；

（3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．

【答案】（1）；（2）感染者人数可能的取值为，，；（3）．

【分析】（1）由图可计算得到的取值；

（2）当经过轮共次检测后确定所有感染者，只需第轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；

（3）当所需检测次数最大时，需有名感染者，并在第轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为的组，每组个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.

【详解】（1）由题意知：第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；；

（2）由（1）可知：若只有个感染者，则只需次检测即可；

经过轮共次检测查出所有感染者，比只有个感染者多次检测，则只需第轮时，对两组都都进行检查，即对最后个人进行检查，可能结果如下图所示：

感染者人数可能的取值为，，.

（3）若没有感染者，则只需次检测即可；

若只有个感染者，则只需次检测即可；

若有个感染者，若要检测次数最多，则第轮检测时，个感染者不位于同一组中；

此时相当于两个待检测人数均为的组，每组个感染者，此时每组需要次检测；此时两组共需次检测；

若有个感染者，且检测次数最多，共需次检测.

综上所述：所需总检测次数的最大值为.