2021-2022学年河北省廊坊市霸州市九年级(上)期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年河北省廊坊市霸州市九年级(上)期末数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空題，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中的角，是圆心角的为
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线的顶点坐标为
A．B．C．D．
3．（3分）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能为
A．B．2C．1D．0
4．（3分）在数据3，4，4，5中，随机抽取一个数据，抽到其众数的概率为
A．B．C．D．1
5．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则点关于点的对称点的坐标为
A．B．C．D．
6．（3分）若，则
A．B．C．D．1
7．（3分）如图，的半径为5，，经过点的的最短弦的长为
A．4B．6C．8D．10
8．（3分）口袋里有若干个白球，又放进去6个黑球，这些球除颜色外其他均相同，小明每次摸出一个球并记下颜色后放回，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，则口袋里的白球数很可能为
A．4B．6C．9D．15
9．（3分）反比例函数的图象如图所示，则的面积为
A．B．C．3D．6
10．（3分）如图，中，，将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为
A．逆时针，B．逆时针，C．顺时针，D．顺时针，
11．（3分）如图，抛物线的对称轴为．若这条抛物线经过，两点，则，的大小关系为
A．B．C．D．无法确定
12．（3分）如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为
A．4.5B．2C．1.5D．1
13．（3分）如图，正方形的边长为4，点，点在轴上且在点的右侧，点，均在第一象限，为的中点，反比例函数的图象经过点，则
A．点在上B．点在上方
C．点在下方D．以上三种情况都有可能
14．（3分）如图，中，，，，点，分别在，上，，为中点，平分，则的长为
A．B．C．D．2
二、填空題（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
15．（3分）如图，半圆的半径为5，将三角板的角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点，，则 ．
16．（3分）若与互为相反数，则 ．
17．（3分）如图，中，，点在上，，作交于点，交于点，则的长为 ．
18．（3分）已知二次函数，当时，函数有最大值，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
20．（8分）如图，中，，，为内一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（8分）如图，，，为上一点，，连接．
（1）若，求的长；
（2）若平分，求证：．
22．（9分）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉一直这样玩（每次捉到一人）．
请用树状图解决下列问题：
（1）若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
（2）若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
23．（9分）如图，直线与轴、轴分别交于点，，点，均在上，点的横坐标为，点的横坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）若，
①求的解析式；
②判断是否经过点，并说明理由．
（2）若经过点，求的值．
24．（10分）如图，中，，，过点，，的弧的半径为6，点在上，，切线交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的度数．
25．（12分）如图，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，与线段的另一个交点为点（不与点重合），为抛物线上点，之间的一动点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）求，的数量关系；
（3）若经过的中点，
①求的解析式；
②求点到距离的最大值．
2021-2022学年河北省廊坊市霸州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中的角，是圆心角的为
A．B．
C．D．
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【解答】解：．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
．是圆心角，故本选项符合题意；
．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了圆心角，弧、弦之间的关系和圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．
2．（3分）抛物线的顶点坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（3分）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能为
A．B．2C．1D．0
【分析】根据方程有实数根得出△，据此列出不等式求解即可求出的取值范围．
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
△，
解得或，
故选：．
【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根是解决问题的关键．
4．（3分）在数据3，4，4，5中，随机抽取一个数据，抽到其众数的概率为
A．B．C．D．1
【分析】在数据3，4，4，5中，随机抽取一个数据共有4种等可能结果，抽到其众数的有2种可能结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：在数据3，4，4，5中，随机抽取一个数据共有4种等可能结果，抽到其众数的有2种可能结果，
所以抽到众数的概率为，
故选：．
【点评】本题主要考查概率公式和众数的定义，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
5．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则点关于点的对称点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据对称的性质作出点关于点的对称点即可得出答案．
【解答】解：如图，点关于点的对称点的坐标为．
故选：．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化对称，熟练掌握对称的性质是解题的关键．
6．（3分）若，则
A．B．C．D．1
【分析】根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出．
7．（3分）如图，的半径为5，，经过点的的最短弦的长为
A．4B．6C．8D．10
【分析】过点作弦，连接，如图，根据垂径定理得到，由于为过点的最短弦，所以利用勾股定理计算出，从而求出即可．
【解答】解：过点作弦，连接，如图，则，
圆心到弦的距离越大，弦越短，
为过点的最短弦，
，
．
经过点的的最短弦的长为8．
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
8．（3分）口袋里有若干个白球，又放进去6个黑球，这些球除颜色外其他均相同，小明每次摸出一个球并记下颜色后放回，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，则口袋里的白球数很可能为
A．4B．6C．9D．15
【分析】根据白球的频率得到概率，然后利用概率公式列式计算即可．
【解答】解：多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在，
估计摸到白球的概率为0.6，
设口袋里原有白球个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故选：．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解白球的频率稳定在附近即为概率约为0.6．
9．（3分）反比例函数的图象如图所示，则的面积为
A．B．C．3D．6
【分析】根据反比例函数系数的几何意义可得，再根据同底等高的三角形面积相等，可求出答案．
【解答】解：连接，
由反比例函数系数的几何意义得，
又轴，
，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提，掌握同底等高的三角形面积相等是解决问题的关键．
10．（3分）如图，中，，将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为
A．逆时针，B．逆时针，C．顺时针，D．顺时针，
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，
，
旋转方向为顺时针，旋转角为，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11．（3分）如图，抛物线的对称轴为．若这条抛物线经过，两点，则，的大小关系为
A．B．C．D．无法确定
【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，即可得到答案．
【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，
抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．
12．（3分）如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为
A．4.5B．2C．1.5D．1
【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）如图，正方形的边长为4，点，点在轴上且在点的右侧，点，均在第一象限，为的中点，反比例函数的图象经过点，则
A．点在上B．点在上方
C．点在下方D．以上三种情况都有可能
【分析】根据的坐标以及正方形的边长得到，然后利用待定系数法求得，进而求得反比例函数的图象与的交点即可得到结论．
【解答】解：正方形的边长为4，点，
，，，
反比例函数的图象经过点，
，
，
当时，则，
，
点在上方，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
14．（3分）如图，中，，，，点，分别在，上，，为中点，平分，则的长为
A．B．C．D．2
【分析】根据角平分线和平行可得，从而可得，然后证明字模型相似三角形，即可求出，，进而求出，最后进行计算求出即可解答．
【解答】解：为中点，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
二、填空題（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
15．（3分）如图，半圆的半径为5，将三角板的角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点，，则 5 ．
【分析】连接、点与圆心，可得是一个等边三角形，进而可得的长度等于半径．
【解答】解：如图，连接、，
，
，
为等边三角形，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查圆周角定理，熟练使用圆周角定理进行推导角度是解题关键．
16．（3分）若与互为相反数，则 3或2 ．
【分析】根据相反数得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：根据题意得：，
，
，
或，
解得：或2，
故答案为：3或2．
【点评】本题考查了相反数和解一元一次方程，能正确根据等式的性质解一元一次方程是解此题的关键．
17．（3分）如图，中，，点在上，，作交于点，交于点，则的长为 4 ．
【分析】由相似三角形的判定和性质求出，根据平行四边形的定义得到四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可求得．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，根据相似三角形的判定和性质求出是解决问题的关键．
18．（3分）已知二次函数，当时，函数有最大值，则 ．
【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可．
【解答】解：二次函数，
该函数图象对称轴是直线，
当时，当时，该函数取到最大值，
当时，函数有最大值，
，
解得，（不合题意，舍去），
当时，当时，该函数取到最大值，
，
解得
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，得到关于的方程．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）这里，，，
△
，
，
解得：．
【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．（8分）如图，中，，，为内一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，，，为上一点，，连接．
（1）若，求的长；
（2）若平分，求证：．
【分析】（1）利用一线三等角模型证明，即可解答；
（2）利用角平分线的性质可得，从而可得，然后证明，即可解答．
【解答】（1）解：，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
的长为；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．
22．（9分）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉一直这样玩（每次捉到一人）．
请用树状图解决下列问题：
（1）若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
（2）若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【解答】解：（1）如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共用4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次捉到丙的概率为；
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共用8种可能出现的结果，其中第3次捉到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点评】本题考查列表法、树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
23．（9分）如图，直线与轴、轴分别交于点，，点，均在上，点的横坐标为，点的横坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）若，
①求的解析式；
②判断是否经过点，并说明理由．
（2）若经过点，求的值．
【分析】（1）①把代入得，，求得，代入即可得到结论；
②把代入得到，由于，于是得到结论；
（2）根据题意得方程即可得到结论．
【解答】解：（1）①把代入得，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
的解析式为；
②不经过点，
理由：，
点的横坐标为2，
把代入得，，
，
，
不经过点；
（2）点，均在上，点的横坐标为，点的横坐标为，
，
经过点，点，
，
解得．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
24．（10分）如图，中，，，过点，，的弧的半径为6，点在上，，切线交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的度数．
【分析】（1）求出，由弧长公式可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质求出，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，由切线的性质求出，则可得出答案．
【解答】解：（1）连接，
，
，
，
的长为；
（2）连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
为的切线，
，
，
．
【点评】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
25．（12分）如图，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，与线段的另一个交点为点（不与点重合），为抛物线上点，之间的一动点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）求，的数量关系；
（3）若经过的中点，
①求的解析式；
②求点到距离的最大值．
【分析】（1）在中，令，即可求得的坐标，令，即可求得的坐标，即可求解；
（2）将点的坐标代入抛物线，即可得，的数量关系；
（3）求出的中点，①将点、的坐标代入抛物线，即可得的解析式；
②设点，点到的距离为，由即可求解．
【解答】解：（1）在中，令，解得，则的坐标是，
令，解得，则的坐标是；
故答案为：，；
（2）将点代入抛物线得，，
，
；
（3），
的中点，
①将、代入抛物线，
，解得，
的解析式为；
②联立直线与抛物线得：
，解得，，
，，，
设点，，点到的距离为，
，，
，
，
，
．
．
当时，的最大值为．
点到距离的最大值为．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积的计算等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．