初中数学人教版九年级上册21.2.2 公式法达标测试

第二十一章　一元二次方程

21.2　解一元二次方程

21.2.2　公式法

基础过关全练

知识点1　一元二次方程根的判别式

1.(2020辽宁沈阳中考)一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是(　　)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

2.(2022河南周口月考)下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是(　　)

A.x2-8=0　　　　B.x2-4x+4=0

C.2x2+3=0　　　　D.x2-2x-1=0

3.(2022福建福州期中)若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的值可能是(　　)

A.3　　B.4　　C.5　　D.6

4.(2022广西玉林期中)已知关于x的一元二次方程x2+2m=4x有两个实数根,则m的取值范围是(　　)

A.m≤2　　B.m<2　　

C.m≥0　　D.m<0

5.(2021四川阿坝州月考)若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数根,则k的取值范围是　　　　. 

6.(2022河南郑州期中)若关于x的方程(a-4)x2-4x-1=0有实数根,则a的取值范围是　　　　. 

知识点2　用公式法解一元二次方程

7.(2022独家原创)解一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)时,利用求根公式得x=(未化简),则下面对a,b,c,Δ的判断中错误的是(　　)

A.a=3　　　　B.b=6

C.c=-1　　　　D.Δ=48

8.用公式法解方程(x+1)(x-2)=1,化为一般形式为　　　　　　,其中b2-4ac=　　　,方程的解为　　　　　　　　　　　　. 

9.解方程x2=3x+2时,有一位同学解答如下:

∵a=1,b=3,c=2,b2-4ac=32-4×1×2=1,

∴x==,

∴x1=-1,x2=-2.

请你分析以上解答有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.

10.用公式法解方程:

(1)x2-7x-18=0;

(2)2x2-7x+7=0;

(3)4x2+4x-1=-10-8x.

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11.(2021山东滨州中考,7,)下列一元二次方程中,无实数根的是(　　)

A.x2-2x-3=0　　　　B.x2+3x+2=0

C.x2-2x+1=0　　　　D.x2+2x+3=0

12.(2021四川广安中考,5,)关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根,则a的取值范围是(　　)

A.a≤且a≠-2　　　　B.a≤

C.a<且a≠-2　　　　D.a<

13.(2021广西河池中考,10,)关于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情况是(　　)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.实数根的个数由m的值确定

14.(2021上海浦东新区月考,5,)已知a、b、c是△ABC的三边长,若关于x的一元二次方程(a-c)x2+(a-b)x-b+a=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形　　　　B.等边三角形

C.直角三角形　　　　D.无法判断

15.(2022四川成都期中,21,)若关于x的一元二次方程x2-2x-a=0没有实数根,则直线y=(a+1)x+a-1一定不经过的象限是　　　　　　. 

16.(2021江苏高邮二模,17,)若m、n是关于x的一元二次方程4x2+4kx+3k2+8k+8=0的两个实数根,则m2 022+n2 021+1的值为　　　　. 

17.(2021河南南阳南召期中,14,)若直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0的实数解的个数为　　　　. 

18.(2022广东云浮期中,17,)用公式法解方程:5x2=7-2x.

19.(2019湖南衡阳中考,21,)关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.

(1)求k的取值范围;

(2)如果k是符合条件的最大整数,且关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.

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20.[数学抽象]定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“负一”方程.已知ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)是“负一”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论中错误的是(　　)

A.a=c　　B.b=2c　　C.b=2a　　D.a=b=c

21.[数学运算](2021重庆沙坪坝期末)若数a使关于x的一元二次方程x2-2x-6+a=0有两个不相等的实数解,且使关于y的分式方程+=2的解为非负整数,则满足条件的a的值为　　　　.

答案全解全析

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1.B　∵a=1,b=-2,c=1,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,∴方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根.

2.B　A项,∵Δ=02-4×1×(-8)=32>0,∴该方程有两个不相等的实数根;B项,∵Δ=

(-4)2-4×1×4=0,∴该方程有两个相等的实数根;C项,∵Δ=02-4×2×3=-24<0,∴该方程没有实数根;D项,∵Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴该方程有两个不相等的实数根.

3.A　∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4m>0,解得m<4.故选A.

4.A　方程x2+2m=4x整理得x2-4x+2m=0,∵关于x的一元二次方程x2+2m=4x有两个实数根,∴Δ=(-4)2-4×1×(2m)≥0,解得m≤2.

5.k>4

解析　∵关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数根,∴Δ=(-4)2-4k<0,解得k>4.

6.a≥0

解析　当a-4=0,即a=4时,方程为-4x-1=0,解得x=-,

∴a=4满足题意;当a-4≠0,即a≠4时,要满足题意,则Δ=16+4(a-4)≥0,解得a≥0.综上所述,a的取值范围为a≥0.

7.B　一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)的求根公式为x=,对比可得a=3,b=-6,Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3c=48,∴c=-1,∴选项B错误.故选B.

8.x2-x-3=0;13;x1=,x2=

解析　原方程整理可得x2-x-3=0,∵a=1,b=-1,c=-3,

Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,∴x==,∴x1=,x2=.

9.解析　有错误.

错误之处:没有先把方程化成一般形式.

正确解法:方程变形为x2-3x-2=0,

∵a=1,b=-3,c=-2,

∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0,

∴x==,

∴x1=,x2=.

10.解析　(1)a=1,b=-7,c=-18,

Δ=(-7)2-4×1×(-18)=121>0,

x===,

即x1=9,x2=-2.

(2)a=2,b=-7,c=7,

Δ=(-7)2-4×2×7=-7<0,

方程没有实数根.

(3)方程整理得4x2+12x+9=0,

a=4,b=12,c=9,Δ=122-4×4×9=0,

x1=x2=-=-=-.

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11.D　A项,Δ=(-2)2-4×(-3)=16>0,有两个不等实数根;B项,Δ=32-4×2=1>0,有两个不等实数根;C项,Δ=(-2)2-4×1=0,有两个相等实数根;D项,Δ=22-4×3=-8<0,无实数根.

12.A　∵关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根,∴Δ≥0且a+2≠0,

∴(-3)2-4(a+2)×1≥0且a+2≠0,解得a≤且a≠-2.

13.A　∵Δ=m2-4(-m-2)=m2+4m+8=(m+2)2+4>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.

14.A　∵关于x的一元二次方程(a-c)x2+(a-b)x-b+a=0有两个相等的实数根,∴Δ=[(a-b)]2-4×(a-c)(-b+a)=0,整理得2(a-b)2-2(a-c)(a-b)=0,因式分解得2(a-b)[(a-b)-(a-c)]=0,即2(a-b)(c-b)=0,可得a-b=0或c-b=0,则a=b或c=b,则△ABC的形状为等腰三角形.又由二次项系数不为0知a≠c,∴△ABC不能为等边三角形.故选A.

15.第一象限

解析　∵关于x的一元二次方程x2-2x-a=0无实数根,∴Δ=4+4a<0,解得a<-1,故a+1<0,a-1<0,故直线y=(a+1)x+a-1一定不经过第一象限.

16.3

解析　由题意,得Δ=16k2-4×4×(3k2+8k+8)≥0,∴-2(k+2)2≥0,即(k+2)2≤0,∴k+2=0,解得k=-2,∴原方程可化为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1,∴m=n=1,

∴原式=12 022+12 021+1=1+1+1=3.

17.1或2

解析　∵直线y=x+a不经过第二象限,∴a≤0,当a=0时,关于x的方程ax2+2x+1=0是一元一次方程,解为x=-,即方程有一个实数解;当a<0时,关于x的方程ax2+2x+1=0是一元二次方程,∵Δ=22-4a>0,∴方程有两个不相等的实数解.故答案为1或2.

18.解析　移项得5x2+2x-7=0,a=5,b=2,c=-7,

Δ=b2-4ac=22-4×5×(-7)=144>0,

x===,∴x1=1,x2=-.

19.解析　(1)根据题意得Δ=(-3)2-4k≥0,解得k≤.

(2)由题意得k=2,∴方程x2-3x+k=0即为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,

∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,

∴当相同的根为x=1时,m-1+1+m-3=0,解得m=;当相同的根为x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,又m-1≠0,即m≠1,∴m的值为.

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20.D　∵ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)是“负一”方程,且有两个相等的实数根,∴a-b+c=0,且b2-4ac=0.由a-b+c=0可得b=a+c,将b=a+c代入b2-4ac=0得a2+2ac+c2-4ac=(a-c)2=0,则a=c,∴b=2a=2c.故选D.

21.1或5

解析　∵关于x的一元二次方程x2-2x-6+a=0有两个不相等的实数解,

∴Δ=(-2)2-4(-6+a)>0,即a<7.

解关于y的分式方程+=2,得y=,∵y≠1,∴≠1,∴a≠3,

又由题意知为非负整数,结合a<7得a=1或5.