数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式集体备课课件ppt

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第1课时　基本不等式
第二章　§2.2　基本不等式
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
导语
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
内容索引
基本不等式的证明与理解

一
问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？
提示　正方形的边长AB＝ ，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋
b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式.
问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用 分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？
问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示　方法一　(作差法)
方法二　(性质法)
方法三　(利用几何意义证明)如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝ ，由于CD小于或等于圆的半径，
故用不等式表示为 ，由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
知识梳理
1.基本不等式：如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立.2.其中，______叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数.3.两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
a＝b
不小于
求简单代数式的最值

二
因为x>0，
当且仅当x＝ ，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4.
延伸探究　1.当x<0时，求x＋ 的最大值.
因为x<0，则－x>0，
故原式的最大值为－4.
因为x>1，故有x－1>0，
当且仅当x－1＝ ，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5.
在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可.
反思感悟
(多选)下面四个推导过程正确的有
√
√
A中，∵a，b为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误；
最值定理

三
问题4　你能写出基本不等式的几种变形吗？
由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值.
知识梳理
最值定理已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大.
(1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换.
注意点：
(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为A.80 B.77C.81 D.82
因为x>0，y>0，
√
当且仅当x＝y＝9时，等号成立，即(xy)max＝81.
(2)若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是A.4 　　 B. 　　　 　C.9 　　 D.18
因为m＞0，n＞0，mn＝81，所以m＋n≥2　　＝18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，故m＋n的最小值是18.
√
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
反思感悟
(1)已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为A.2,2 　　B.2,4 　　C.4,4 　　D.4,2
√
因为a＞0，b＞0，
所以a＋2b取得最小值时a，b的值分别为4,2.
由题意知1－2x>0，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝ 时，等号成立.所以y的最大值为 .
课堂小结
1.知识清单： (1)基本不等式的推导与证明. (2)求简单代数式的最值. (3)最值定理.2.方法归纳：拼凑法.3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少.
随堂演练

1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是A.a＝±1 B.a＝1C.a＝－1 D.a＝0
√
1
2
3
4
当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立.
2.已知x<0，则x＋ －2有A.最大值0 B.最小值0C.最大值－4 D.最小值－4
√
1
2
3
4
当且仅当－x＝－ ，即x＝－1时“＝”成立.∴x＋ －2(x＜0)有最大值为－4.
3.下列结论正确的是
1
2
3
4
√
1
2
3
4
选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不满足“各项必须为正”，故不正确；选项D不满足“积为定值”，故不正确.
4.已知y＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为____.
1
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课时对点练

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1.下列不等式中正确的是
√
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若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
由基本不等式可知D项正确.
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2.下列各式中最小值为2的是
√
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3.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是A.400 　　 B.100 　　 C.40 　　 D.20
√
当且仅当x＝y＝20时，等号成立.∴xy的最大值是400.
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5.(多选)下列不等式中正确的是
由基本不等式可知B，D正确.
√
√
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6.(多选)下列条件可使　　 ≥2成立的有A.ab>0 B.ab<0C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
√
√
√
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7.已知01
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因为x>3，所以x－3>0，
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故当x＝1时，ymax＝1.
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11.式子 的最小值为A.3 　　B.4 　　 C.6 　　 D.8
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12.若0√
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13.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为A.16 　　 B.9　　 C.4 　　 D.36
√
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14.已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为 _____.
因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
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15.(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有A.(1,4) B.(6,8)C.(7,12) D.
√
√
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设矩形的长和宽分别为x，y，
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∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，