高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数多媒体教学ppt课件
展开§3.3 幂函数
第三章 函数的概念与性质
学习目标
1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.
2.掌握幂函数的图象位置和形状变化,会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.
导语
同学们,我们说要想学好数学,就要先了解它的发展史,比如我们今天要学习的幂函数,“幂”其原意是遮盖东西用的布,后来引申为面积.《九章算术》刘徽注:“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代,既称面积为幂,也称平方或立方为幂.清末之后,幂逐渐开始专指乘方概念.
内容索引
幂函数的概念
一
问题1 下面几个实例,观察它们得出的函数解析式,有什么共同特征?(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg,那么她需要支付p=ω元,这里p是ω的函数;(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数;(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数;(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= ,这里c是S的函数;(5)如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v= km/s,即v=t-1,这里v是t的函数.
提示 这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数.
知识梳理
幂函数的概念一般地,函数 叫做幂函数,其中x是 ,α是 .
y=xα
常数
自变量
(1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1.(3)α是任意常数.(4)函数的定义域与α有关.
注意点:
(1)在函数y= ,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为A.0 B.1 C.2 D.3
√
∵y= =x-2,∴是幂函数;y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数;y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1=x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y=1不是幂函数.
(2)已知y=(m2+2m-2) +2n-3是幂函数,求m,n的值.
幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,需满足:①指数为常数,②底数为自变量x,③自变量x前的系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…形式的函数都不是幂函数.(2)若一个函数为幂函数,则该函数也必具有y=xα(α为常数)这一形式.
反思感悟
若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=16,则f(-4)=____.
设f(x)=xα,∵f(4)=16,∴4α=16,解得α=2,∴f(x)=x2,∴f(-4)=(-4)2=16.
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幂函数的图象与性质
二
问题2 根据之前所学,我们应该从哪些方面来研究幂函数?
提示 根据函数解析式先求出函数的定义域,然后画出函数图象,再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.
问题3 你能在同一坐标系下作出y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1这五个函数的图象吗?
提示
问题4 观察函数图象以及函数解析式,完成下表.
R R R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
增函数
在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减
增函数
在[0,+∞)上单调递增
在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减
知识梳理
通过以上信息,我们可以得到:(1)函数y=x,y=x2,y=x3,y= 和y=x-1的图象都通过点 ;(2)函数y=x,y=x3,y=x-1是 ,函数y=x2是 ;(3)在区间(0,+∞)上,函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,函数y=x-1 ;(4)在第一象限内,函数y=x-1的图象向上与y轴 ,向右与x轴_________.
(1,1)
奇函数
偶函数
单调递增
单调递减
无限接近
无限接近
一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都过点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当α=1时,幂函数的解析式为y=x;当0<α<1时,幂函数的图象上凸.
注意点:
(3)当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递减,且函数在原点无意义.(4)在(-∞,0)上,幂函数有无图象与α的取值有关,若函数为偶函数,函数图象一定出现在第二象限,若函数为奇函数,函数图象一定出现在第三象限.(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.(6)在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列.
注意点:
如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2, 四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为
√
(1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念,对于幂函数y=xα(α是常数),由于α的取值不同,所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时,注意分类讨论思想的应用.(2)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象:先根据α的取值,确定幂函数y=xα在第一象限内的图象.②确定幂函数在其他象限内的图象:根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
反思感悟
若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1
√
由图象知,y=xm在(0,+∞)上单调递增,所以m>0,由于y=xm的图象增长的越来越慢,所以m<1,y=xn在(0,+∞)上单调递减,所以n<0,又当x>1时,y=xn的图象在y=x-1的下方,所以n<-1.
幂函数性质的综合运用
三
已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) 的图象过点(4,2).(1)求f(x)的解析式;
因为f(x)=(m2-2m+1) 为幂函数,所以m2-2m+1=1,∴m=2或m=0.当m=2时,f(x)= ,图象过点(4,2);当m=0时,f(x)= ,图象不过点(4,2),舍去.综上,f(x)= .
(2)判断函数的单调性,并进行证明;
函数f(x)在[0,+∞)上为增函数.
即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0,+∞)上为增函数.
(3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围.
解决幂函数的综合问题时应注意掌握并熟悉幂函数的图象和单调性,会根据待定系数法求幂函数的解析式,并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性.
反思感悟
已知函数f(x)= (m∈N*).若该函数图象经过点(2, ),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
∴m2+m=2,∴m=1或m=-2(舍去),∴f(x)= .
课堂小结
1.知识清单: (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法、分类讨论法.3.常见误区:易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.
随堂演练
1.下列函数中不是幂函数的是A.y= B.y=x3C.y=3x D.y=x-1
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只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式.
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由幂函数y=xα在第一象限内的图象,结合幂函数的性质,可得图中C1对应的α<0,C2对应的0<α<1,C3对应的α>1,
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象,则解析式中指数α的值依次可以是
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4.若幂函数y=(2a2+a)xa在(0,+∞)上单调递减,则a=_____.
2a2+a=1,解得a=-1或a= .当a= 时,y= ,在(0,+∞)上单调递增,与已知不符,舍去;当a=-1时,y=x-1,在(0,+∞)上单调递减,与已知相符,综上所述,a=-1.
-1
课时对点练
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1.下列函数:①y=x3;②y= ;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
√
②⑦为自变量在指数位置,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.
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2.若幂函数的图象过点(3, ),则该幂函数的解析式是A.y=x-1 B.y=C.y=x2 D.y=x3
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3. 若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c
√
在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数由小到大,所以a>b>c>d.
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4.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则m等于A.1 B.2 C.1或3 D.3
√
因为f(x)=x4-m在(0,+∞)上单调递增,所以4-m>0.所以m<4.又因为m∈N*,所以m=1,2,3.又因为f(x)=x4-m是奇函数,所以4-m是奇数,所以m=1或3.
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5.函数y= -1的图象关于x轴对称的图象大致是
y= 的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y= -1的图象可看作是由y= 的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示),则y= -1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
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6.以下结论中,正确的为A.当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而 增大D.幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限
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当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故A不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故B不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故C不正确;D正确.
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7.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是___________.
因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上单调递减.故α<0.
(-∞,0)
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8.若幂函数f(x)过点(2,8),则满足不等式f(a-3)+f(a-1)≤0的实数a的取值范围是__________.
由题意,不妨设f(x)=xα,因为幂函数f(x)过点(2,8),则f(2)=2α=8,解得α=3,故f(x)=x3为定义在R上的奇函数,且f(x)为增函数,因为f(a-3)+f(a-1)≤0,则f(a-3)≤-f(a-1)=f(1-a),故a-3≤1-a,解得a≤2,从而实数a的取值范围是(-∞,2].
(-∞,2]
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9.比较下列各组数的大小:(1) 和 ;
函数y= 在(0,+∞)上单调递减,又3<3.2,所以 .
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函数y= 在(0,+∞)上单调递增,
(2) 和 .
所以 .
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10.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;
由m2-5m+7=1可得m=2或m=3,又f(x)为偶函数,则m=3,所以f(x)=x2.
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所以实数a的取值范围为(2,6).
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
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11.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax- 的图象可能是
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12.已知函数f(x)= ,若0因为函数f(x)= 在(0,+∞)上单调递增,
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13.已知a,b∈R,若a<b,则A.a<2b B.ab<b2C.a3<b3 D.a-1<b-1
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当a=-2,b=-1⇒a=2b,故A错误;当a=-2,b=-1⇒ab>b2,故B错误;构造函数y=x3为增函数,故得到a3<b3,故C正确;当a=-2,b=-1⇒a-1>b-1,故D错误.
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14.有四个幂函数:①f(x)=x-1;②f(x)=x-2;③f(x)=x3;④f(x)= .某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y|y≠0};(3)在(-∞,0)上单调递增.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是_____(填序号).
②
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对于函数①,f(x)=x-1,这是一个奇函数,值域是{y|y≠0},在(-∞,0)上单调递减,所以三个性质中有两个不正确;对于函数②,f(x)=x-2,这是一个偶函数,其值域是{y|y>0},在(-∞,0)上单调递增,所以三个性质中有两个正确,符合条件;同理可判断③④中函数不符合条件.
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15.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是_____.
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则y= ,由 =3,得x=9,即明文是9.
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16.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足 的a的取值范围.
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因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3.又因为m∈N*,所以m=1,2.因为函数的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1.则原不等式可化为 .因为y= 在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减,所以a+1>3-2a>0或3-2a1
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