2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）集体备课课件ppt

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第3课时　分段函数
第三章　3.1.2　函数的表示法
学习目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数.
2.给出分段函数，能研究有关性质.
3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
导语
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴.
内容索引
分段函数求值(范围)问题

一
提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
知识梳理
分段函数
(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.
分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集.
注意点：
由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)， ∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，
延伸探究1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去；当－22.本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.
当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化为2x－1>2x，则x∈∅.综上可得，x的取值范围是(－∞，2).
(1)分段函数求值的方法①先确定要求值的自变量属于哪一段区间.②然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
反思感悟
(1)已知f(x)＝ 使f(x)≥－1成立的x的取值范围是A.[－4,2) B.[－4,2]C.(0,2] D.(－4,2]
当x≤0时，f(x)≥－1即 x＋1≥－1，解得x∈[－4,0]；当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，解得x∈[0,2]，综上，x∈[－4,2].
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分段函数的图象及应用

二
　　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.结合图②，得出φ(x)的解析式为
由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1].
(2)求函数φ(x)的定义域，值域.
分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
反思感悟
　　　 函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式.
当x<－1时，设f(x)＝ax＋b，
所以f(x)＝x＋2；当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2，由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2；当x>2时，设f(x)＝cx＋d，
所以f(x)＝2x，
分段函数在实际问题中的应用

三
　　第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式.(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本)
当产量小于或等于50万盒时，y＝200x－200－180x－100＝20x－300，当产量大于50万盒时，y＝200x－200－x2－60x－3 500＝－x2＋140x－3 700，故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为
分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
反思感悟
　　　 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
设票价为y元，里程为x公里.由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式.
函数图象如图.
课堂小结
1.知识清单： (1)分段函数的概念及求值. (2)分段函数的图象及应用.2.方法归纳：分类讨论、数形结合法.3.常见误区： (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.
随堂演练

1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是
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∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D(D(x))＝1.
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3.已知函数f(x)＝　　　　　　　则f(2)等于A.－1 　　 B.0 　　C.1 　　 D.2
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当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去；
课时对点练

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2.下列图象是函数y＝x|x|的图象的是
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3.(多选)设函数f(x)＝　　　　　　若f(a)＝4，则实数a等于A.－4 　　 B.2 　　C.4 　　D.－2
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4.函数y＝f(x)的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f(x)的定义域、值域分别是A.[－5,0]∪[2,6)，[0,5]B.[－5,6)，[0，＋∞)C.[－5,0]∪[2,6)，[0，＋∞)D.[－5，＋∞)，[2,5]
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由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5,0]∪[2,6)，值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞).
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5.设x∈R，定义符号函数sgn x＝　　　　　则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是
则f(x)的图象为C中图象所示.
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6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为A.13立方米 B.14立方米C.18立方米 D.26立方米
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该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为
由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
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7.某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元.某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设总购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是_______________________________________.
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当x≤5，x∈N*时，f(x)＝5 000x；当51
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8.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是______________________.
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由题图可知，图象是由两段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，f(x)＝－x，
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(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
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函数f(x)的图象如图所示.
(2)画出函数f(x)的图象；
由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3).
(3)写出函数f(x)的值域.
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10.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元.(1)请写出y关于x的函数关系式；
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由题意，
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∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？
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当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，
当x≤1时，f(x)＝1－x2，
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12.设函数f(x)＝ 若f(a)＝a，则实数a的值为A.±1 B.－1C.－2或－1 D.±1或－2
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13.AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好，当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI的数值的统计数据，图中点A表示3月1日的AQI的数值为201.则下列叙述不正确的是A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.从3月9日到12日，空气质量越来越好D.从3月4日到9日，空气质量越来越好
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14.已知函数f(x)＝ 则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为__________________________.
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15.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为_________.
{y|y≤2}
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当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
根据函数解析式作出函数图象，如图所示.由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}.
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16.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.
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(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
10：30开始第一次休息，休息了半小时.
(3)第一次休息时，离家多远？
第一次休息时，离家17千米.
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
11：00至12：00他骑了13千米.
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(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14 千米/时.
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.