高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课前预习ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课前预习ppt课件，文件包含321第2课时函数的最大小值pptx、321第2课时函数的最大小值docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共59页， 欢迎下载使用。


第2课时　函数的最大(小)值
第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值
学习目标
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.
3.会借助函数的单调性求最值.
4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题.
导语
108这个数字大家也许并不陌生：《封神榜》里面总共有108位神仙；在《水浒传》中，讲述的是齐聚水泊梁山的108位英雄好汉；在《红楼梦》中，设置了108个章节，等等这些，足以说明108在古人心中认为是数字之最，今天我们也来一次穿越，和古人一起探讨一下我们的函数之最吧.
内容索引
直观感知函数的最大值和最小值

一
问题1　如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.
提示　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
问题2　你是怎样理解函数图象最高点的？
提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
知识梳理
函数的最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x) M；(2)∃x0∈I，使得 .那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x) M；(2)∃x0∈I，使得 .那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值.
≤
f(x0)＝M
≥
f(x0)＝M
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标.(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.(3)一个函数至多有一个最大(小)值.(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值.
注意点：
作出函数f(x)的图象，如图.由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
图象法求函数最值的一般步骤
反思感悟
　　　 已知函数f(x)＝ 求函数f(x)的最大值、最小值.
作出f(x)的图象如图.由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
利用函数的单调性求函数的最值

二
问题3　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
提示　最大值为f(b)，最小值为f(a).
问题4　若f(x)＝－x2的定义域为[－1,2]，则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？
提示　不一定，需要考虑函数的单调性.
所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值.
由(1)知，函数f(x)在[1,5]上单调递减，
(1)利用单调性求最值的一般步骤①判断函数的单调性.②利用单调性写出最值.(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.
反思感悟
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
设1≤x1∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
即f(x1)(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增，∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
探究生活中的实际问题

三
　　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝　　　　　　　　　 　其中x(单位：台)是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x元，
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000；当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，f(x)<60 000－100×400<25 000.∴当x＝300时，f(x)max＝25 000.即月产量为300台时利润最大，最大利润为25 000元.
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题的步骤是①审清题意；②建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；③总结结论，回归题意.
反思感悟
　　　 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.故当x＝70时，ymax＝9 000.即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元.
课堂小结
1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法.2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法.3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论.
随堂演练

1.函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)A.有最大值B.有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值
√
∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)1
2
3
4
3.函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为A.[0,3] B.[－1,0]C.[－1，＋∞) D.[－1,3]
√
∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数y取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3].
1
2
3
4
4.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_____ m.
设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，
3
所以当x＝3时，S有最大值.
课时对点练

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值.其中正确说法的个数为A.0 　　 B.1　　 C.2 　　D.3
√
由函数最大值的概念知②③正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.下列函数在[1,4]上最大值为3的是A.y＝ ＋2 B.y＝3x－2C.y＝x2 D.y＝1－x
√
选项B，C在[1,4]上均单调递增，选项A，D在[1,4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为A.42,12 B.42，－C.12，－ D.无最大值，最小值为－
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为A.90万元 B.60万元C.120万元 D.120.25万元
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
∴当x＝9或10时，L最大值为120万元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.规定max{a，b}表示取a，b中的较大者，例如max{0.1，－2}＝0.1，max{2,2}＝2.则函数f(x)＝max{x＋1,4－2x}的最小值为A.1 　　 B.2 　　 C.3 　　D.4
√
当x＋1≥4－2x，即x≥1时，max{x＋1,4－2x}＝x＋1；当x＋1＜4－2x，即x＜1时，max{x＋1,4－2x}＝4－2x；
显然f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得最小值为f(1)＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)若函数f(x)＝x2－4x＋1在定义域A上的值域为[－3,1]，则区间A可能为A.[0,4] 　　 B.[2,4]　　 C.[1,4] 　　 D.[－3,5]
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵函数f(x)＝x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，以直线x＝2为对称轴，∴函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增.当x∈[0,4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(0)＝f(4)＝1，得函数的值域为[－3,1]；当x∈[2,4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(4)＝1，得函数的值域为[－3,1]；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当x∈[1,4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，∵f(1)＝－2f(5)＝6，∴最大值为f(－3)＝22，得函数的值域为[－3,22].根据以上的讨论可得区间A不可能为[－3,5].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝___.
若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.函数f(x)＝ ，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为_____，最小值为_____.
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.画出函数y＝－x(|x－2|－2)，x∈[－1,5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
观察图象得，函数y＝－x(|x－2|－2)的单调递减区间是[－1,0]，[2,5]，单调递增区间是(0,2)，当x＝2时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝－5，所以原函数最大值为4，最小值为－5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54].当x＝42时，日销售利润最大，最大值为432元，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A.[1，＋∞) B.[0,2] C.(－∞，2] D.[1,2]
√
f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知函数f(x)＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为A.(－∞，－4] B.(－∞，－1]∪[2，＋∞)C.[2，＋∞) D.[－4，＋∞)
√
函数f(x)＝2x2－ax＋1图象的对称轴方程为x＝ ，当－10时，要使f(x)的最大值为f(a)，则f(a)≥f(－1)，即2a2－a2＋1≥2＋a＋1，解得a≤－1(舍)或a≥2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为____.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分.
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.(多选)已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝ 则F(x)的最值情况是A.最大值为3 B.最小值为－1C.无最小值 D.无最大值
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)3，
作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.函数f(x)＝ (a∈R)的定义域为(0,2].(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
所以函数y＝f(x)的值域为[2，＋∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求函数y＝f(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16