人教A版 (2019)必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式习题ppt课件

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习题课　不等式恒成立、能成立问题
第二章　一元二次函数、方程和不等式
学习目标
会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.
内容索引
在R上的恒成立问题

一
　　已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
综上，实数k的取值范围是{k|－1转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
反思感悟
注意点：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
反思感悟
　　　若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是
√
当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得 ≤k<0，综上，实数k的取值范围是 ≤k≤0.
在给定范围内恒成立的问题

二
　　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
令y＝x2＋mx＋4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
∴实数m的取值范围是{m|m<－5}.
在给定范围内的恒成立问题(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.(2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
反思感悟
　　　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A.a≥4 　　B.a≥5　　 C.a≤4 　　D.a≤5
√
因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
解决简单的能成立问题

三
　　当10有解，则实数m的取值范围为___________.
记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
{m|m>－5}
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m反思感悟
　　　若存在x∈R，使得 ≥2成立，求实数m的取值范围.
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴实数m的取值范围为{m|m≥－2}.
课堂小结
1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定范围内的恒成立问题. (3)解决简单的能成立问题.2.方法归纳：等价转换法，数形结合法.3.常见误区：要注意端点值的取舍.
随堂演练

1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是A.m≥2 B.m≤－2C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2
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不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2.
2.对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是A.m≥2 B.0√
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当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，
综上，实数m的取值范围是0≤m≤2.
3.已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是A.a≥1 B.a>1C.a≤1 D.a<1
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因为1≤x≤2，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.
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－4原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，当a＝0时，不等式为－1<0，符合题意，当a≠0时，有 ⇒－4课时对点练

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1.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要
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2.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是A.{m|m≤－2或m≥2}B.{m|－2≤m≤2}C.{m|m<－2或m>2}D.{m|－2√
因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
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3.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是A.{a|－4≤a≤4}B.{a|－44}
√
由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
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4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－1√
由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
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5.(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是A.a<1 B.a≤1C.a<2 D.a<0
√
因为ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0时恒成立，
√
综上，ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.
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A.{m|－13}C.{m|－44}
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解得m>4或m<－1.
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7.若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是_________.
x2＋(m－3)x＋m<0无解，则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9.
1≤m≤9
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8.若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________________.
当k＝1时，－1<0恒成立；
{k|－3解得－31
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9.∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围.
由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
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10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(1，－2)，B(－1,0)，且与反比例函数y＝交于点M(3,4)，(1)求二次函数与反比例函数的表达式；
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又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A，B，M，
∴y＝x2－x－2.
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由(1)知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2，故有x2－x－2≥mx－3在R上恒成立，即x2－(m＋1)x＋1≥0在R上恒成立∴Δ≤0，又Δ＝[－(m＋1)]2－4＝m2＋2m－3，∴m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1.
(2)若对∀x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求参数m的取值范围.
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11.设p：“∀x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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∵∀x∈R，x2－mx＋1>0，∴Δ＝m2－4<0，∴－21
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12.若不等式(a－3)x2＋2(a－2)x－4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是A.(－∞，2] B.[－2,2]C. D.(－∞，2)
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当a－3＝0，即a＝3时，不等式化为2x－4＜0，解得x＜2，不满足题意；当a≠3时，
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13.对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是A.a<－3 B.a<－4C.a<0 D.a>0
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因为x2－2x＋a<0，所以a<－x2＋2x，又因为－1≤x≤2，－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3，所以a<－3，又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”.所以C正确.
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14.若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为________________.
令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)·a－2x－2，是关于a的函数，由题意得 (x2＋x)－2x－2＞0或 (x2＋x)·3－2x－2＞0.即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②. 解①可得x＜－1或x＞2，解②可得x＜－1或x> .
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15.关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是_______________.
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当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立，若a＝－1，不等式为2x－1≤0，
当a2－1≠0时，若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，
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16.已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.
y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.∵1≤m≤3，

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