高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式图文ppt课件

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第2课时　一元二次不等式的应用
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
1.熟练掌握分式不等式的解法.
2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.
3.构建一元二次函数模型，解决实际问题.
内容索引
解简单的分式不等式

一
　　解下列不等式：
原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
则x<－2.故原不等式的解集为{x|x<－2}.
分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
反思感悟
　　　 解下列不等式：
解得x≤－1或x>3.即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用

二
　　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0，
延伸探究　1.若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集.
2.若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2即2ax2＋5ax－3a>0.又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号.(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式.(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
反思感悟
　　　 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
一元二次不等式的实际应用

三
　　(教材P54页例5改编)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋ x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9，又∵x≥0，∴x≥45.∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.
解不等式应用题的步骤
反思感悟
　　　 某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.
设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m.根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥ ×800×600，整理得x2－700x＋60 000≥0,0＜x≤300，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0课堂小结
1.知识清单： (1)简单的分式不等式的解法. (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用. (3)一元二次不等式的实际应用.2.方法归纳：转化法、恒等变形法.3.常见误区： (1)解分式不等式要等价变形. (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.
随堂演练

1.不等式 <0的解集为A.{x|x>1} B.{x|x<－2}C.{x|－21}
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2.若不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为　　　　　　 ，则a＋b的值为A.5 　　 B.－5 　　 C.6 　　 D.－6
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∴a＋b＝－5.
3.已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20的解集为
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因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－21
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所以不等式cx2－ax＋b>0可化为－2ax2－ax＋a>0，因为a<0，所以2x2＋x－1>0，即(2x－1)(x＋1)>0，
4.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(01
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{t|10≤
t≤15，t∈N}
z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}.
课时对点练

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1.若p： ≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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2.不等式 ≤0的解集是A.{x|x<－1或－1√
∴－11
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4.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝500＋30x元，为使月获利不少于8 600元，则月产量x需满足A.55≤x≤60　　 B.60≤x≤65 　　C.65≤x≤70　　 D.70≤x≤75
√
由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.
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5.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少　t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}
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设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
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6.(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－10B.a－b＋c>0C.a＋b＋c>0D.不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2√
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对于A，a<0，依题意知－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝ ，－1×2＝ ，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；对于B，由题意可知当x＝1时不等式成立，a－b＋c>0，所以B正确；对于C，当x＝－1时ax2－bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，由题得ax2＋bx＋c＞0可化为ax2＋ax－2a>0，因为a<0，所以x2＋x－2<0，所以－20的解集是{x|－21
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7.写出一个一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件___________________.
因为ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根，设为x1，x2，所以x1x2＜0，即a＜0，故只需写出一个比a＜0范围小的范围即可.
a＜－1(答案不唯一)
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8.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ，则ax2－bx＋c>0的解集为___________.
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所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
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9.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为 .(1)求a，c的值；
解得a＝－6，c＝－1.
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由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
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10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(01
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要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
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因为不等式解集为{x|－1＜x＜3}，故可得a＜0，且 ＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3；
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13.已知a∈Z关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是A.13 　　 B.18 　　 C.21 　　D.26
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设y＝x2－6x＋a，如图，其图象为开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，根据题意可得Δ＝36－4a＞0，解得a＜9，因为y≤0的解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得
所以a＝6,7,8，所以符合题意的a的值之和6＋7＋8＝21.
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14.已知定义在R上的运算“⊗”：x⊗y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a)⊗(x＋a)＞0，当a＝2时，不等式的解集为______________.
当a＝2时，不等式(x－a) ⊗ (x＋a)＞0即为(x－2)(1－x－2)＞0，即(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2.
{x|－1＜x＜2}
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15.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________.
乙车
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由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10.分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40.由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
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16.某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
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如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系.∵AB＝400，∠BAx＝30°，
∴台风中心B的坐标为(200 ,－200)，x h后台风中心B到达点P(200 ，40x－200)处.由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，
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整理得16x2－160x＋375≤0，解这个不等式得3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h).故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.